Построение конечно-разностных уравнений и тепловых схем для одномерных областей

ОПИСАНИЕ ОСНОВ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА. ТЕПЛОВЫЕ СХЕМЫ

Метод теплового баланса позволяет построить эффективный численный метод и разработать на его основе метод тепловых схем.

Применение численного метода теплового баланса к явлениям переноса теплоты в произвольном выделенном малом объеме позволяет получать устойчивые разностные схемы, сходящиеся в классе разрывных коэффициентов. Применительно к получению конечно-разностных уравнений аналогами численного метода теплового баланса является интегро-интерполяционный метод - в отечественной литературе, и метод контрольного объема - в зарубежной литературе [Мод]. В этих методах для получения конечно-разностных уравнений проводится интегрирование исходных дифференциальных уравнений по выделенному контрольному объему. В численном методе теплового баланса, излагаемого в этой книге, конечно-разностные уравнения получаются непосредственно из интегрального уравнения баланса для произвольных конечных объемов, на которые предварительно разбивается рассчитываемая область.

Изложение метода получения разностных уравнений и тепловых схем начи­нается с простейшего случая одномерного стержня и далее, усложняясь, пере­ходит к трехмерному случаю.

Рассмотрим стержень, поперечное сечение которого столь мало, чтобы мож­но было пренебречь изменением температуры по его сечению. В этом случае, температурное поле стержня является одномерным и изменяется только по оси х, направленной по длине стержня. Будем считать, что коэффициент тепло­проводности стержня λ, плотность материала стержня ρи удельная теплоем­кость с являются функциями координаты х. Объемная плотность внутреннего источника теплоты ф(х, t) изменяется во времени и по длине стержня.

Рассмотрим два случая, когда теплофизические характеристики материала стержня λ, ρ, с являются непрерывными функциями координаты х и функциями, имеющими разрывы первого рода. Последний случай соот­ветствует составному стержню, представляющему собой совокупность несколь­ких стержней с различными теплофизическими характеристиками, состыко­ванных своими концами друг с другом.

3.1.1. Стержень, теплоизолированный с боковой поверхности. Ра­ссмотрим одномерный стержень, теплоизолированный с боковой поверхности. Его одномерное нестационарное температурное поле T = T (х, t) описывается следующим дифференциальным уравнением (см.2.12)

Разобьем длину стержня сечениями перпендикулярными оси х на конечные объемы длиной ∆хi и площадью сечения А, равной площади поперечного се­чения стержня (рис. 3.1). В центре каждого объема поместим по одному узлу, при этом номер узла совпадает с номером объема. Границы объемов на оси х будем обозначать дробным индексом. Так для i-гo объема Vi левая граница имеет координату xi-1/2, а правая – координату xi+1/2. Расстояние между со­седними узлами i - 1 и i обозначим hi, очевидно, что hi = (∆хi-1+ ∆хi,)/2.

Рис. З.1. Одномерный стержень, разбитый на конечные объемы.

Рассмотрим баланс потока теплоты в i-ом выделенном объеме, воспользовав­шись интегральным уравнением теплового баланса (см. Гл. 2)

(3.1)

где Vi = A ∆ xi – объем i-го элемента; S,- - площадь всей поверхности выде­ленного i -го объема. Индекс i относит рассматриваемые переменные к i-му выделенному объему.

Поверхностный интеграл в левой части уравнения (3.1) выражает суммар­ный тепловой поток, пересекающий поверхность выделенного i-ro объема. Учи­тывая, что тепловой поток вдоль стержня одномерен (не изменяется в направле­нии перпендикулярном оси х), а тепловой поток с боковой поверхности стержня отсутствует (поскольку рассматривается теплоизолированный с боковой по­верхности стержень) можно записать, что

(3.2)

где Qi-1/2 = Q(xi-1/2,t), Qi+1/2= Q(xi+1/2,t), границах выделенного объема Vi

Напомним, что за положительное направление вектора теплового потока принято направление, соответствующее вытеканию из объема теплового по­тока.

Примем, что в члене dT/dt уравнения (3.1) значения температуры Т берется в узловой точке i. Учитывая, что элемент объема dVi = Adx, так что интегри­рование по объему Vi сведется к интегрированию по координате х в интервале [xi-1/2, xi+1/2] получим из уравнений (3.1), (3.2) дифференциальное уравнение ба­ланса теплоты в i-ом конечном объеме

(3.3)

Где

(3.4)

теплоемкость объема Vi;

(3.5)

мощность внутреннего источника теплоты в объеме Vi; Ti = Ti(t) = T(xi,t) -нестационарная температура в i-ом узле.

Из уравнения (3.3) видно, что изменение во времени количества теплоты в i-ом выделенном объеме обусловливается втеканием теплового потока через левую границу объема, внутренним источником теплоты и вытеканием теплового потока через правую границу объема.

Рассмотрим тепловые потоки Qi-1/2 и Qi+1/2- Согласно закону Фурье, они равны

Интегрируя dT/dx = - Qi-1/2/ A на интервале [xi-1,xi] и dT/dx = -Qi+1/2/ A на интервале [xi,xi+1] и полагая, что тепловые потоки Qi-1/2 и Qi+1/2 не изменяются по длине соответствующих интервалов, получим

(3.6)

(3.7)

Величина в соотношении (3.6), согласно определению (1.28), представляет собой тепловое сопротивление участка стержня между узлами i-1 и i. Формулу (3.7) можно упростить, записав тепловое сопротивление Ri приближенно, например, так

где = - коэффициент теплопроводности стрежня в сечении с координатой х = xi-1/2, т.е. на границе соседних конечных объемов Vi-1 и Vi.

Если коэффициент теплопроводности не изменяется по длине стержня, получаем известную формулу теплового сопротивления цилиндра длиной /, площадью сечения А, теплоизолированного с боков, а именно R = l/ А (см. задачу 1.2).

Итак, согласно соотношениям (3.6) и (3.7), тепловые потоки Qi-1/2 и Qi+1/2 могут быть записаны в виде

(3.8)

Подставляя выражения (3.8) в уравнение баланса (3.3), получим дифференциальное, конечно-разностное по координате х, уравнение

(3.9)

Уравнение (3.9) позволяет теперь построить тепловую схему, моделирующую процессы теплопроводности в рассматриваемом стержне.

Каждый член уравнения (3.9) представляет собой тепловой поток и их алгебраическая сумма в узле i, как следует из (3.9) равна нулю, т.е.

(3.10)

Соединим узлы i- 1 и i ветвью с тепловым сопротивлением Ri, узлы i и i + 1 - ветвью с тепловым сопротивлением Ri+1, к узлу i подведем ветвь с независимым источником внутреннего теплового потока Фi и ветвь с объемной теплоемкостью Сi. В результате получим тепловую схему, моделирующую теплоперенос, в выделенном i-ом объеме (рис. 3.2).

Рис. З.2. Тепловая схема, моделирующая нестационарное распределение температуры в одномерном стержне с теплоизолированной боковой поверхностью.

Введение тепловой схемы позволяет установить аналогию между процессами теплопроводности в тепловой схеме в терминах электрических процессов, протекающих в электрической схеме. А именно, введем следующую аналогию: узел электрической схемы соответствует узлу сетки, наложенной на стержень; потенциал узла электрической схемы соответствует температуре в узле сетки стержня; электрический ток в ветви между двумя узлами электрической схемы соответствует тепловому потоку между соседними узлами сетки стержня; электрическое сопротивление в ветви между двумя узлами электрической схемы соответствует тепловому сопротивлению между соседними узлами стержня; электрическая емкость соответствует тепловой емкости выделенного объема стержня; независимый источник тока, подключенный к узлу в электрической схеме соответствует внутреннему источнику теплоты в стержне, распределенном в выделенном объеме.

Обратившись к конечно-разностному уравнению (3.9) легко заметить, что тепловой поток CidTi/dt аналогичен току через конденсатор емкостью Ci в электрической схеме; тепловой поток (Ti— Ti+1)/Ri+1 аналогичен электрическому току через сопротивление Ri+1, включенному между узлами i и i+1, имеющими потенциалы Ti и Ti+1 соответственно; свободный член в правой части, т.е. тепловой поток Фi, аналогичен независимому источнику тока, подключенному к узлу i в электрической схеме. Тогда уравнение (3.10) есть ни что иное, как аналог первого закона Кирхгоффа, согласно которому сумма токов ветвей, соединенных с данным узлом, равна нулю. В тепловой схеме (рис. 3.2) принято, что тепловой поток, вытекающий из узла, имеет положительное направление, а поток, втекающий в узел - отрицательное.

В аналогию между тепловой и электрической схемами не вкладывается никакого глубокого смысла, и в дальнейшем она не используется. Аналогия эта приведена здесь для более ясного понимания тепловых схем в известных инженерам понятиях из теории электических схем.

Уравнение (3.9) является дискретным аналогом непрерывного интегрального уравнения теплового баланса (3.1). Процессы теплопроводности, описываемые интегральным уравнением баланса теплоты (3.1) и его дискретным аналогом (3.9), моделируются процессами, протекающими в соответствующей тепловой схеме (рис. 3.2). И наоборот, процессы в тепловой схеме полностью описываются уравнением (3.9), являющимся конечно-разностным аналогом непрерывной математической модели (3.1).

Анализ процессов теплопередачи, протекающих в рассматриваемом стержне, можно проводить не прибегая к выписыванию конечно-разностных уравнений, а непосредственно - с помощью составления тепловой схемы. Для этого стержень разбивается на конечные малые объемы, в центре каждого объема выбирается по одному узлу, и полученные узлы соединяются элементами тепловой схемы вида R, С, Ф (рис. 3.2).

Уравнения (3.8) справедливы для внутренних конечных объемов, не имеющих общих границ с торцами стержня. Условия на границах (торцах) стержня будут рассмотрены ниже.

3.1.2. Стержень, с боковой поверхности которого происходит теплообмен со средой. Рассмотрим одномерный стержень (см. п. 3.1.1), с боковой поверхности которого происходит теплообмен в среду с известной температурой Ta(x,t). Как и в п. 3.1.1, температура во всех точках поперечного сечения стержня одинакова и изменяется только по длине стержня. Нестационарное температурное поле Т = T(x,t) стержня в этом случае описывается уравнением (см. (2.34))

где v(x,t) = (x,t)p/A, р и А - периметр и площадь сечения стержня, α (x,t) -коэффициент теплоотдачи.

Согласно закону Ньютона, вектор плотности теплового потока qa, поступающего с боковой поверхности стержня, имеющей температуру Т = T(x,t), в окружающую среду с локальным коэффициентом теплоотдачи α(х, t) и температурой Та = Ta(x,t), равен

(3.11)

Аналогично тому, как это делалось в п. 3.1.1, разбиваем длину стержня на конечные объемы длиной ∆хi{ и площадью сечения А (рис. 3.1) и в центре каждого объема помещаем узел. Баланс теплоты в выделенном объеме описывается уравнением (3.1). Тепловые потоки Qi-1/2 и Qi+1/2 направлены по оси х, проходят через границы выделенного i-гo объема в х = xi-1/2 и х = xi+1/2 и обусловливаются теплопроводностью вдоль стержня, а тепловой поток Qa вытекает с боковой поверхности стержня площадью Sa — р∆хi (р - периметр поперечного сечения стержня) в среду. Тогда поверхностный интеграл в левой части уравнения (3.1), представляющий собой полный тепловой поток, пронизывающий всю поверхность выделенного объема, будет равен

и уравнение теплового баланса (3.1) примет вид

(3.12)

где Фi определяется выражением (3.5), a Ci - выражением (3.4). Тепловые потоки Qi-1/2 и Qi+1/2. были определены выше и даются формулами (3.8). Тепловой поток Qai с внешней поверхности i-го объема в среду с учетом (3.11) определяется выражением

Приняв, что значения температуры стержня T(x,t) и температуры среды Ta(x,t), в пределах i-ro объема, равны их значениям в i-ом узле, получим

где αi(t) = α(xi,t), Ti = T(xi,i), Tai= T(xi,t) - значения указанных величин в i-ом узле с координатой х = хi.

Величина

(3.13)

представляет собой тепловое сопротивление, обусловленное конвективным переносом теплоты с внешней поверхности i-ro объема в среду (см. (1.29)). Поэтому тепловой конвективный поток Qa, может быть записан в виде

(3.14)

Рис. 3.3. Тепловая схема, моделирующая нестационарное распределение температуры в одномерном стержне с теплообменом боковой поверхности со средой.

Подставляя выражения (3.8), (3.14) в уравнение баланса (312) получим

(3.15)

Тепловая схема выделенного объема Vi, соответствующая уравнению (3.15), показана на рис. 3.3.

Уравнение (3.15) выражает баланс тепловых потоков в i-ом узле i-oro выделенного объема и ему соответствует тепловая схема, изображенная на рис. 3.3. По сравнению с тепловой схемой, соответствующей стержню с теплоизолированной боковой поверхностью (рис. 3.2), тепловая схема, учитывающая теплообмен со средой с поверхности стержня (рис. 3.3), содержит новую ветвь, в которую включено конвективное тепловое сопротивление Rai и независимый источник известной температуры Tai; такую ветвь будем называть, для краткости, конвективной ветвью.

3.1.3. Составной стержень с разрывными теплофизическими характеристиками. Рассмотрим одномерный стержень, состоящий из нескольких стержней, выполненных из различных материалов. Контакт между стержнями в тепловом отношении считается идеальным. Площадь сечения стержня постоянна по всей его длине и равна А. Полученные конечно-разностные уравнения и тепловые схемы легко распространяются на случай переменного по длине стержня, поперечного сечения. С боковой поверхности стержня происходит теплообмен со средой по линейному закону Ньютона с температурой Ta(x,t) и коэффициентом теплоотдачи αa(х, t). Внутри стержня имеется источник теплоты объемной плотностью ф(x,t). Ha границах между двумя соседними стержнями тепловые характеристики р = р(х), с = с(х) и λ = λ(х) терпят разрыв первого рода.

Разбив стержень по его длине сечениями перпендикулярными оси х на непересе-кающиеся конечные объемы, запишем для произвольного выделенного объема Vi уравнение баланса теплоты (см. п. 3.1.2, уравнение (3.12))

(3.16)

где -и - тепловые потоки, проходящие через границы объема Vi, имевшие координаты и ; Qa,i - конвективный тепловой поток, теряемый внешней поверхностью объема Vi в результате теплообмена со средой. Явная запись тепловых потоков , , Qa,i определяется характером разбиения стержня на объемы и выбором узлов по отношению к границам между разно­родными стержнями.

Конечные объемы можно расположить так, что их границы будут совпа­дать с границами между соседними стержнями или так, что эти конечные объемы будут содержать внутри себя границы между стержнями. Так же и узлы внутри выделенных объемов можно совместить с границами, разделяю­щими соседние стержни, а можно расположить их так, что граница между соседними стержнями расположится между двумя узлами. Мы рассмотрим оба эти случая и найдем уравнения, к которым они приводят. При этом необхо­димо помнить, что на границе двух стержней должны выполняться граничные условия четвертого рода, а именно, тепловые потоки и температуры на границе должны быть равны.

Конечно-разностное уравнение теплового баланса в произвольном выделенном объёме Vi имеет вид (см. (3.15))

(3.17)

Где Ri и Ra,i тепловые сопротивления кондукциии и конвекции соответственно, определяемые по формулам(см.(3.7), (3.13))

; (3.18)

Фi- мощность внутренних источников теплоты в выделенном объеме Vi, определяемая по формуле (см. (3.5))

(3.19)

Ci - теплоемкость объема Vi, определяемая по формуле (см. (3.4))

(3.20)

Если объем Vi расположен по отношению к границе слоев так, как показано на рис. 3.4а, коэффициенты, входящие в уравнение (3.17) определяются по формулам (3.18)—(3.19), а теплоемкость выделенного объема Vi равна

т.е. равна сумме тепловых емкостей частей контрольного объема С1i и С1i, расположенных слева и справа от границы контакта двух слоев соответственно. Если выделенные объемы расположены так, как показано на рис. 3.46, коэффициенты, входящие в уравнение (3.17), за исключением Ri, определяются по формулам (3.18)-(3.20), а тепловое сопротивление теплопроводностью Ri, между соседними узлами i и i-1 согласно формуле (3.18),будет равно

т.е. тепловое сопротивление Ri,- между узлами i и i +1 при переходе через границу соседних стержней равно сумме тепловых сопротивлений частей выделенных объемов Vi-1 и Vi, примыкающих к границе соприкосновения стержней

На практике, вместо формул (3.18)-(3.20) удобно иметь более простые формулы для определения коэффициентов разностного уравнения (3.17), использующие значения теплофизических параметров р(х), с(х), λ{х) в узлах сетки.

Для расположения выделенных объемов, показанного на рис. 3.4а коэффициенты уравнения (3.17) можно рассчитывать по формулам

где р1i, с1i и p2i c2i - плотность и удельная теплоемкость материалов стержней, примыкающих к границе между ними; λi-1/2 = λ(xi-1/2) - теплопроводность материала стержня в месте расположения границы х = xi-1/2 выделенного объема. Если выделенные объемы расположены так, как показано на рис. 3.46, коэффициенты уравнения (3.17) можно рассчитывать по формулам

где λi-1 и λi - коэффициенты теплопроводности материалов стержней в узлах сетки i - 1 и i соответственно.

В частности, если h1i = h2i = hi/2, т.е. общая граница соседних объемов расположена точно посередине между узлами i-1 и i, тепловое сопротивление будет равно

Это выражение можно трактовать как тепловое сопротивление участка стержня между узлами i-1 и i с коэффициентом теплопроводности материала λi-1/2 = 2λi-1λi/(λi-1+λi). Обычно, применяются оба способа расположения выделенных объемов. Выбор того или иного их расположения относительно границ раздела разнородных материалов решается исходя из соображений, относящихся к конкретной задаче. Необходимо все же отметить, что первый подход к расположению конечных объемов автоматически обеспечивает равенство тепловых потоков и температур на границе разнородных материалов, а второй подход - только равенство тепловых потоков на границе раздела, в то же время о равенстве температур на границе ничего сказать нельзя.

Покажем, что в первом способе расположения конечных объемов обеспечивается равенство тепловых потоков и температур на границе раздела материалов и поэтому первый способ предпочтительней второго способа расположения конечных объемов.

Контакт двух разнородных материалов составляющих стержень, с тепловой точки зрения, можно представить как два отдельных материала, связанных между собой граничными условиями четвертого рода, а именно, тепловой поток, выходящий из 1-го узла левого материала входит в i-ый узел правого материала, при этом температуры в i-ом узле, принадлежащем как левому так и правому материалам, естественно, равны автоматически.

Рассматривая каждый стержень в отдельности мы можем записать для их приграничных конечных объемов уравнения баланса:

- для левого приграничного конечного объема

- для правого приграничного конечного объема

Где

а С1i и С2i определены выше.

Сложив уравнения получим уравнение баланса тепловых потоков в конечном объёме Vi

где Сi = С1i + C2i

Полученное уравнение, с входящими в него коэффициентами, полностью совпадает с уравнением теплового баланса, соответствующему первому способу расположения конечных объемов (рис. 3.4а). Таким образом, первый способ расположения конечных объемов, при котором узел внутри объема принадлежит границе раздела разнородных материалов (лежит в точке разрыва теплофизических характеристик), а сам конечный объем охватывает границу раздела, обеспечивает выполнение условий четвертого рода.

3.1.4. Условия на границах стержня. Выше были получены уравнения баланса в произвольном выделенном объеме стержня и соответствующая ему тепловая схема. При этом, рассматривались только внутренние объемы, не имеющие общих точек с границами (торцами) стержня.

Рассмотрим теперь уравнения и тепловые схемы, соответствующие различным граничным условиям, заданным на торцах стержня.

Граничные условия могут быть одного из следующих типов (см. п. 2.7):

- задана известная температура (граничное условие 1 рода);

- задан известный тепловой поток (граничное условие 2 рода);

- задано взаимодействие поверхности со средой, подчиняющееся линейному

закону Ньютона (граничное условие 3 рода).

Анализ этих условий будем проводить для общего случая, когда с боковой поверхности стержня происходит теплообмен со средой.

Рис. 3.5. Тепловые схемы граничных условий первого (а), второго (6) и третьего (в) рода на торце стержня.

Для определенности, будем рассматривать левую границу стержня.

Выделим конечный объем Vi, примыкающий к торцу стержня (рис. 3.5). В отличие от внутренних конечных объемов V2, V3, поместим узел 1 в объеме V1 не в центре объема, а на торце стержня.

Граничное условие 1 рода. Дифференциальное уравнение теплового баланса для внутреннего объема V1 имеет вид (см. уравнение (3.15) для i = 2)

В это уравнение входит известная температура Т1 в узле 1, расположенном на торце стержня. Поэтому никаких дополнительных уравнений не требуется. Соответствующая тепловая схема показана на рис. 3.5а.

Отметим, что в случае задания граничного условия 1 рода уравнения составляются только для внутренних объемов. Поэтому коэффициент теплоотдачи с внешней поверхности объема V1 в среду, как и теплоемкость С1 и тепловой поток внутреннего источника теплоты Ф1 в уравнениях и на тепловой схеме, отсутствуют.

Граничное условие 2 рода. Если на границе задано граничное условие второго рода, то температура Т1 на границе стержня неизвестна и требуется дополнительное уравнение для ее определения. Это уравнение получается из рассмотрения баланса теплоты в граничном конечном объеме 1 (рис. 3.5).

Согласно уравнению баланса (3.12) записанного для первого конечного объема Vi получим уравнение

(3.21)

в котором тепловой поток Q3/2 обусловлен теплопроводностью вдоль стержня между узлами 1 и 2 и равен

тепловой поток Qa,1 обусловлен конвективным теплообменом и равен

Где

Ci - теплоемкость граничного конечного объема.

Граничное условие 2 рода моделируется источником теплового потока мощностью Qo.

Граничное условие 3 рода. Если на границе задан теплообмен в среду с известной температурой Тa,0= Тa,0(t) и коэффициентом теплоотдачи α0 = α0 (t), то согласно закону Ньютона тепловой поток Q1/2 на границе стержня х =x1/2 равен

,

причем тепловой поток Q1/2 вытекает из левой границы конечного объема V1.

Подставляя тепловой поток Qi в (3.21) получим уравнение баланса в приграничном конечном объеме V1 с граничным условием третьего рода на левой его границе

(3.22)

где температура среды Tа,о(t) является известной функцией времени.

Уравнение (3.22) связывает неизвестную температуру T1 на границе стержня с температурами во внутренних узлах.

Соответствующая тепловая схема показана на рис. 3.5в.

Таким образом, теплообмен границы стержня со средой моделируется на тепловую ветвь с тепловым конвективным сопротивлением Rо и известной

Дата добавления: 2014-12-27