Основные понятия теории множеств

Упражнения

1. Доказать логические эквивалентности приведенные в параграфе 1.1.

2. Записать квантор всеобщности и квантор существования с использованием операторов конъюнкции и дизъюнкции.

3. Доказать истинность высказывания: «Все люди смертны. Сократ — человек. Следовательно, Сократ смертен».

4. Доказать ложность высказывания: «Все дикари раскрашивают свои лица. Некоторые современные женщины рас­крашивают свои лица. Следовательно, некоторые современные женщины — дикари»

Глава 2. Теория множеств

Под множеством А понимается совокупность объектов произвольной природы, объединенных общим свойством Р (х). Обозначение . Читается: " А есть множество х, таких, что Р (х)".

Пример

Легко заметить, что множество состоит из двух чисел – 1 и 2.

Пример

. C - множество всех натуральных чисел и обозначается буквой N.

Если х входит в А, то мы говорим, что х есть элемент множества А и обозначаем это так:

.

В противном случае мы говорим, что х не является элементом множества А и пишем:

или .

Множество А называется подмножеством В, если для любого х (). Обозначение: или .

Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов (A = В) или .

Пример

{ a, b, c, d } = { c, d, a, b }.

Пример

{ a, b, c, d } { a, c, b }.

Пример

{ x|x 2-3 x+ 2 = 0} = {1,2}.

Если множество А конечно и состоит из элементов а ₁, а ₂,..., а_n, то пишем:

А ={ а ₁, а ₂,..., а_n }.

Иногда подобное обозначение распространяется и на некоторые бесконечные множества. Так,

N ={1,2,3,..., n,...},

Z ={...,- n,...,-2,-1,0,1,2,..., n,...}.

Количество элементов в множестве А называется мощностью множества А. Обозначение: .

Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента, то есть х не принадлежит этому множеству (для любого х). Обозначение: .

Дата добавления: 2014-12-27