Метод простой итерации

Если в качестве матриц выбрать единичную матрицу, т.е. , а итерационные параметры не зависят от номера итерации, то из (47) мы получим явный стационарный итерационный метод

, (50)

который называется методом простой итерации. В координатной форме этот метод запишется в виде:

В канонической форме соотношение (50) имеет вид:

Существуют и другие варианты метода простой итерации, например такой:

Подставляя в это равенство

получаем

или в каноническом виде,

где D –диагональная матрица .

Хотя схема (52) формально является неявной, так как , но D – диагональная матрица и потому определяется по явным формулам.

Рассмотрим вопрос сходимости метода простой итерации. Учитывая, что и , где – норма матрицы А [18], имеем

при Следовательно, по теореме п. 4.2. метод простой итерации сходится при всех значениях , удовлетворяющих неравенству .

Замечание. На практике при решении вопроса сходимости процесса простой итерации часто используют следующее утверждение: пусть А – самосопряженная положительно определенная матрица и , такое что , для которого выполняется условие

Тогда процесс простой итерации сходится и вычисления продолжаются до момента выполнения неравенства

Пример 1. Методом простой итерации решить с точностью до ε= 0,001 систему линейных алгебраических уравнений:

.

Решение. Приведем систему к виду с диагональным преобладанием. Так как 92 > 6 + 3, то в первом уравнении преобладающим будет коэффициент при , а так как 99 > 1 + 7, то во втором уравнении – при . В третьем уравнении коэффициент при будет преобладающим, если из этого уравнения вычесть второе уравнение. Поэтому вычтем из 3-его уравнения 2-ое и поменяем местами 1-ое и 2-ое уравнения системы. В результате чего получим:

.

Выразим из соответствующего уравнения соответствующее неизвестное:

.

Так как , то условие сходимости метода простой итерации выполнено. Вычисления будем проводить до момента выполнения неравенства

За начальное приближение возьмем вектор свободных членов , т.е. , а последовательные приближения будем вычислять по формуле

В данном случае имеем:

.

Дата добавления: 2014-12-27