Расстояние от точки до прямой

Угол между двумя прямыми.

Углом между двумя прямыми называется величина меньшего из углов, образованного этими прямыми.

На рис. 6.6 углом между прямыми l ₁ и l ₂ является угол φ. Выведем формулу для его нахождения.

Если прямая l ₁ задана уравнением A ₁ x + B ₁ y + C ₁ = 0,

то ее нормальный вектор .

Если прямая l ₂ задана уравнением A ₂ x + B ₂ y + C ₂ = 0,

Рис. 6.6

то ее нормальный вектор .

Угол между векторами можно найти по формуле:

, где – нормальные векторы

прямых l ₁ и l ₂.

Эта формула удобна для вычисления угла между прямыми, заданными их уравнениями.

Пример 6.7. Найдите угол между прямыми x + 5 y – 3 = 0 и 2 x – 3 y + 1 = 0.

Решение. Найдем координаты нормальных векторов заданных прямых: . Согласно формуле получим

Ответ:

Расстоянием от точки М₁ до прямой l называется длина перпендикуляра М ₁ Н, опущенного из точки к прямой (рис. 6.7).

Если точка M₁ имеет координаты (x₁; y₁), а прямая l задана общим уравнением Ax + By + C =0, то для нахождения расстояния от точки М₁ до прямой l будем использовать формулу: М₁Н = .

Пример 6.8. Найдите расстояние от точки М ₁(1; -1) до прямой l: 3 x – 4 y + 5 = 0.

Решение. Воспользуемся формулой где x₁ = 1, y₁ = -1; A =3, B =-4, C =5.

Ответ: М₁Н = 2,4.

Контрольные вопросы.

1. Что называют уравнением линии на плоскости?
2. Какие способы задания прямой существуют?
3. Что называют угловым коэффициентом прямой?
4. Чем отличаются канонический и параметрический виды уравнений прямой?
5. Что называют углом между двумя прямыми? Как найти угол между двумя прямыми?
6. Приведите формулу для нахождения расстояния от точки до прямой.

Дата добавления: 2014-12-27