Средние статистические показатели

Использование средних показателей зависит от: характера индивидуальных значений признака (прямые, обратные, квадратичные, относительные); и характера алгебраической связи между индивидуальными значениями признака и ее общего объема (сумма, произведение, степень, квадратный корень).

Средней величиной называется обобщенный количественный показатель характерного, типичного уровня массовых однородных явлений, который складывается под воздействием общих причин и условий развития.

Условные обозначения: — среднее значение исследуемого признака; - каждое индивидуальное значение усредняемого признака; - частота повторений (вес) индивидуального признака; – объем значений признака; n – количество единиц исследуемого признака.

Способы расчета средних показателей: простой применяется по первичным (не сгруппированным) данным, взвешенный применяется по сгруппированным данным (известен показатель частоты).

Основное условие для правильного исчисления средней величины признака – это четкое определение исходного соотношения средней:

.

Методы расчета средних показателей:

1. Средняя арифметическая - применяется тогда, когда известны индивидуальные значения признака (х) и их количество в совокупности.

а) простая: ;

б) взвешенная: .

Пример 4.9. Уставный капитал акционерной компании сформирован 6 учредителями. Размер взноса каждого из них соответственно составил, млн. д. е.: 8; 10; 12; 9; 6; 5. Определить средний взнос одного учредителя.

Решение:

Определим ИСС: .

Тогда средний взнос одного учредителя составит млн. д.е.

Пример 4.10. Определить среднюю выработку деталей на одного рабочего за смену, если известно, сколько деталей изготовил каждый из 15 рабочих (табл. 4.6.).

Таблица 4.6.

Распределение рабочих по количеству изготовленных деталей за смену

Изготовление деталей за смену одним рабочим, шт. x	Количество рабочих, f
Всего

Решение:

Составим исходное соотношение средней:

.

По формуле средней арифметической взвешенной рассчитываем:

шт.

Если ряд задан интервальный, то средняя арифметическая взвешенная определяется, по значению признака, который берется как середина конкретного интервала.

2. Средняя гармоническая - применяется тогда, когда известны данные об общем объеме признака (если взвешенная – w) и индивидуальные значения признака (х), неизвестной является - частота (f).

а) простая: ; б) взвешенная: .

Пример 4.11. Бригада токарей в течение 8-часового рабочего дня занята обточкой одинаковых деталей. Первый токарь затрачивает на одну деталь 12 мин, второй — 15 мин, третий — 11 мин, четвертый — 16 мин и пятый — 14 мин. Необходимо найти среднее время на изготовление одной детали.

Решение:

На первый взгляд, эта задача решается легко по формуле средней арифметической простой: мин.

Однако, найденная средняя была бы правильной, если бы каждый рабочий изготовил только по одной детали, а не работал 8 часов, когда рабочими было изготовлено разное количество деталей. Для расчета количества деталей, изготовленных каждым рабочим, используем такое соотношение (логическая формула):

Установим ИСС: .

Это соотношение отвечает формуле средней гармонической простой:

мин.

Таким образом, среднее время на изготовление 1 детали составляет 13,3 мин.

Пример 4.12. По данным табл. 4.7.определить в целом по организации среднемесячную заработную плату работников.

Решение:

Установим ИСС:

.

руб.

Таким образом, средняя заработная плата работников организации составляет 7270 руб.

Таблица 4.7.

Распределение фонда оплаты труда по категориям работников за месяц

Категория работников	Среднемесячная зарплата (руб.)	Фонд оплаты труда (тыс. руб.)
рабочие		51,6
специалисты		165,0
руководители и служащие		52,5

3. Средняя квадратичная - используется для определения показателей вариации (колебания) признака — дисперсии и среднего квадратического отклонения (более подробно будет рассмотрена в следующем разделе).

а) простая: ; б) взвешенная: .

Средняя геометрическая применяется, когда объем совокупности формируется произведением индивидуальных значений признаков.

Используется для вычисления среднегодовых темпов роста:

,

где - темпы роста; - текущий и предыдущий уровни ряда; - количество темпов роста.

Пример 4.13. Допустим, что в результате инфляции потребительские цены за четыре года выросли в 2,8 раза, в том числе: за первый год в 1,7 раза; за второй — в 1,3; за третий — в 1,1; за четвертый — в 1,15 раза. Как определить среднегодовой темп роста цен?

Решение:

Средняя арифметическая (1,7 + 1,3 + 1,1 + 1,15): 4=1,312 не обеспечивает заданного свойства, так как за четыре года по этой средней цене бы выросли в 1,312 * 1,312 * 1,312 * 1,312=2,94 разы, а не в 2,8 раза. Заданное свойство обеспечивает только средняя геометрическая: .

4. Средняя хронологическая применяется для определения среднего моментного уровня ряда динамики (равностоящего) (более подробно будет рассмотрена в разделе «Ряды динамики»).

5. Структурные средние: мода (Мо) и медиана (Мe).Их величины зависят лишь от характера частот, то есть от структуры распределения. В отличие от других средних, которые зависят от всех значений признака, мода и медиана не зависит от крайних значений. Это особенно важно для незакрытых крайних интервалов вариационных рядов распределения.

Мода (Мо) — это значение признака, которое чаще всего повторяется в ряду распределения. Способ вычисления моды зависит от вида статистического ряда.

Для атрибутивных и дискретных рядов распределения моду определяют визуально без расчетов по значению варианты с наибольшей частотой. Например, по результатам опроса населения относительно определения своего материального состояния по четырем оценкам (хорошо, удовлетворительно, неудовлетворительно, нестерпимо) большинство респондентов определило свое состояние как неудовлетворительное — это и будет модой. Или модальной ценой на тот или другой продукт на рынке является та цена, которая наблюдается чаще всего. В интервальном ряду сначала определяется модальный интервал (интервал с наибольшей частотой) и значение моды в середине интервала рассчитывается по формуле:

,

где - нижняя граница модального интервала; - ширина модального интервала; - частота соответственно предмодального, модального, послемодального интервалов;

Медианой (Мe) называют варианту, которая делит ранжированный (упорядоченный по мере возрастания или убывания) ряд на две равные по объему части.

Медиана для дискретного ряда с нечетным числом вариант будет отвечать средней варианте Ме = x_m - 1, где m — номер кратной варианты первой половины ранжированного ряда.

Медиана для дискретного ряда с четным числом вариант будет отвечать среднему из значений вариант в ранжированном ряду: .

Для интервального ряда медиана вычисляется для середины медианного интервала, за который принимается такой, где сумма накопленных частот превышает половину значений частот ряда распределения. В данном случае формула для расчета медианы имеет вид:

,

где - половина суммы частот; - сумма накопленных частот перед медианным интервалом.

Графически структурные средние в интервальном ряду распределения определяются по гистограмме и кумуляте.

Мода - выбирается самый высокий прямоугольник, который в данном случае является модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Далее из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения (рис. 4.1.).

Медиана - рассчитывается по кумуляте (рис. 4.2.). Для её определения из точки на шкале накопленных частот (частностей), соответствующей 50%, проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой.

Рис. 4.1. Определение моды Рис. 4.2.. Определение медианы

Пример 4.14. По данным табл. 4.8.определить в целом по организации среднемесячную заработную плату работников рассчитав структурные средние.

Таблица 4.8.

Распределение заработной платы работников за месяц

Заработная плата, руб.	до	от 5000 до 7000	от 7000 до 9000	от 9000 до 11000	свыше
Число работников (чел.)

Решение:

Так как исследуемое распределение представляет собой интервальный ряд распределения воспользуемся формулами:

руб.,

руб.

Среднемесячная заработная плата работников составляет 9000 руб.

Дата добавления: 2014-12-29