Статистические показатели вариации

После установления средней величины возникает вопрос, в какой мере индивидуальные значения признака отличаются между собой и от их средней. Для этого рассчитывают показатели вариации.

Вариациейпризнака называют отличие в численных значениях признаков единиц совокупности и их колебания около средней величины, что и будет характеризовать совокупность. Чем меньше вариация, тем более однородна совокупность и более надежна (типична) средняя величина.

По способу измерения вариации существуют:

Абсолютные показатели вариации, к ним относят: размах вариации; среднее линейное отклонение; дисперсия; среднее квадратическое отклонение;

Относительные показатели вариации, к ним относят: коэффициент осцилляции; относительное линейное отклонение; коэффициент вариации и др.

Ниже рассмотрим более подробно каждый из них.

1. Размах вариации, (R) — это разность между наибольшим и наименьшим значением признака: , где - соответственно максимально и минимальное значение признака.

Величина показателя зависит только от крайних значений признака и не учитывает всех значений, которые содержатся между ними. Совершеннее является определение вариации через другие показатели, которые дают возможность устранить недостаток размаха вариации.

2. Среднее линейное отклонение () - представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений всех отклонений индивидуальных значений признака от среднего. В зависимости от наличия или отсутствия частот в ряду распределения можно рассчитать как:

а) для не сгруппированных данных (простое) .

б) для вариационного ряда (взвешенное) .

Наличие абсолютных значений отклонений от средней объясняется так: средняя арифметическая имеет нулевое свойство, согласно которому сумма отклонений от среднего индивидуальных значений признака со своими знаками равняется нулю; чтобы иметь сумму всех отклонений, отличных от нуля, каждое из них следует брать по абсолютной величине (по модулю). Основным недостатком среднего линейного отклонения является то, что в нем не учитываются знаки отклонений, то есть их направленность. Поэтому этот показатель вариации используется редко (анализ состава работающих, ритмичность производства, обращение средств во внешней торговле и т. п.). Показателями вариации, которые бы устранили недостатки среднего линейного отклонения, являются дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

3. Дисперсией называют среднюю арифметическую квадратов отклонений индивидуальных значений признака. В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по формулам средней арифметической простой или взвешенной:

а) простая: б) взвешенная: .

Дисперсию используют также для измерения связей между исследуемыми факторами; распределение дисперсии на составляющие позволяет оценить влияние разных факторов, которые обусловливают вариацию признака.

4. Среднее квадратическое отклонение, как и дисперсия, выступает в качестве широко используемого обобщающего показателя вариации. Его вычисляют, извлекая, квадратный корень из дисперсии:

а) простая: .

б) взвешенная: .

Смысловое значение среднего квадратического отклонения такое же, как и линейного отклонения: оно показывает, на сколько в среднем отклоняются индивидуальные значения признака от их среднего значения. Преимущество этого показателя по сравнению со средним линейным отклонением заключается в отсутствии условного предположения по суммированию отклонений без учета их знаков, поскольку отклонения используются в квадратной степени. Кроме отмеченного, преимуществом данного показателя по сравниванию с дисперсией является то, что среднее квадратическое отклонение выражается в тех же единицах измерения, что и значение исследуемого признака (руб., кг., га и др.). Поэтому данный показатель называют также стандартным отклонением.

Пример 4.15. Рассчитать размах вариации, среднее линейное отклонение и среднеквадратическое отклонение для интервального ряда распределения 100 магазинов города по сумме товарооборота (табл. 4.9.).

Таблица 4.9.

Распределение суммы товарооборота магазинов города в 1 кв. 2011г.

Группы магазинов по величине товарооборота (тыс. руб.),	Число магазинов, входящих в группу,	Середина интервала	Вспомогательные расчеты
40 – 50			-49,2	98,4	2420,64	4841,28
50 – 60			-39,2	156,8	1536,64	6146,56
60 – 70			-29,2	204,4	852,64	5968,48
70 – 80			-19,2		368,64	3686,4
80 – 90			-9,2		84,64	1269,6
90 – 100			0,8		0,64	12,8
100 – 110			10,8	237,6	116,64	2566,08
110 – 120			20,8	228,8	462,64	4759,04
120 – 130			30,8	184,4	948,64	5691,84
130 – 140			40,8	122,4	1664,64	4993,92
Итого				1579,2

Решение:

1. Находим средний размер товарооборота 100 магазинов, т.е. среднею взвешенную: тыс. руб.

2. Заполняем гр. 4, 5, 6 и 7.

3. Определяем размах вариации: тыс. руб.

Вывод. Он показывает, что максимальный размер товарооборота больше минимального на 90 тыс. руб.

4. Среднее линейное отклонение, определяем по формуле взвешенной, т.к. есть частоты: тыс. руб.

Вывод. Он показывает, что среднее отклонение индивидуальных значений товарооборота каждой группы магазинов от среднего арифметического значения товарооборота всех групп магазинов составляет 15,8 тыс. руб.

5. Среднее квадратическое отклонение, также определяем по формуле взвешенной: тыс. руб.

Вывод. Он показывает, что среднее квадратическое отклонение индивидуальных значений товарооборота каждой группы магазинов от среднего величины всех групп составляет 20 тыс. руб.

Между предыдущими показателями существует взаимосвязь: или , т.е. .

В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариаций разных признаков. Например, большой интерес имеет сравнение возраста рабочих с их квалификацией, стажа работы с размером заработной платы, себестоимости и прибыли и т. п. При таких сравнениях рассмотренные показатели вариации признаков с разными единицами измерения не могут быть использованы (например, невозможно сравнивать колебание стажа работы в годах с вариацией заработной платы в руб.).

Для осуществления такого рода сравнений, а также при сопоставлении признака в нескольких совокупностях с разными средними арифметическими используют относительные показатели вариации:

1. Коэффициент осцилляции (по размаху вариации):

.

2. Линейный коэффициент вариации (по среднему линейному отклонению):

.

3. Коэффициент вариации: .

Базой для сравнения служит всегда средняя арифметическая.

Наиболее часто на практике применяют коэффициент вариации, и не только для сравнительной оценки вариации, но и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% ().

Дата добавления: 2014-12-29