Основное уравнение динамики для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Применим уравнение моментов относительно оси к рассмотрению вращательного движения твердого тела.

Рассмотрим твердое тело произвольной формы, вращающееся относительно неподвижной оси (рис.5.6). За ось моментов OZ удобно выбрать ось вращения, направив ее по угловой скорости ().

Уравнение моментов в этом случае имеет вид

,

где - результирующий момент внешних сил, вызывающий вращение тела, относительно оси OZ.

Найдем связь между моментом импульса тела и угловой скоростью ω. С этой целью мысленно разобьем тело на элементарные массы , которые можно рассматривать как материальные точки.

Момент импульса материальной точки относительно оси OZ равен

,

где и - скорость i- той материальной точки и радиус окружности, которую она описывает при вращении тела.

Учитывая, что , где ω – угловая скорость вращения, одинаковая для всех точек тела, получим

. (5.16)

Момент импульса относительно данной оси всего тела определится суммированием по всем элементарным точкам

. (5.17)

Величина , равная сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от некоторой оси, называется моментом инерции тела относительно данной оси:

. (5.18)

Используя (5.18), получим искомую связь между и :

. (5.19)

Таким образом, момент импульса тела относительно оси равен произведению момента инерции тела на его угловую скорость относительно данной оси.

С учетом полученного соотношения (5.19) уравнение моментов принимает вид

или , (5.20)

т.е. произведение момента инерции твердого тела относительно неподвижной оси вращения на угловое ускорение равно моменту внешних сил относительно той же оси.

Полученное уравнение представляет собой основное уравнение динамики вращательного движения тела вокруг неподвижной оси. Оно аналогично уравнению второго закона Ньютона (основного уравнения динамики поступательного движения). Роль массы выполняет момент инерции тела, роль силы – момент силы, роль линейного ускорения – угловое ускорение. Момент инерции тела относительно оси является мерой инертности тела к изменению его угловой скорости. Чем больше момент инерции тела, тем труднее изменить ее скорость. При одном и том же значении момента силы тело с большим значением момента инерции приобретает меньшее угловое ускорение.

Дата добавления: 2014-12-29