Теорема Штейнера

Вычисление моментов инерции.

Момент инерции твердого тела зависит от массы и ее распределения относительно оси вращения. Вычисление момента инерции сводится к суммированию в случае дискретного распределения массы:

,

где - радиус вращения массы вокруг оси OZ.

При непрерывном распределении массы в объеме V суммирование должно быть заменено интегрированием по формулам:

, (5.21)

где - плотность материала, - радиус вращения элемента объема , имеющего массу .

Рассмотрим несколько примеров расчета момента инерции для тел простейшей формы относительно оси, проходящей через центр масс.

1) Момент инерции кольца, обруча или тонкостенного цилиндра массы m и радиуса R.

Все малые элементы тела находятся на одном и том же расстоянии от его оси, проходящей через центр масс (рис.5.7). Поэтому

. (5.22)

2) Момент инерции диска или сплошного однородного цилиндра массы m и радиуса R относительно его оси.

Внутри диска выделим тонкое кольцо радиуса r толщиной dr и шириной, равной ширине диска h (рис.5.8). Объем и масса такого кольца равны:

и ,

где ρ – плотность диска.

Момент инерции рассматриваемого элемента равен

,

а всего диска

. (5.23)

Ввиду однородности диска его масса равна

.

С учетом этого окончательно, получим

. (5.24)

Аналогично, момент инерции полого толстостенного цилиндра (рис.5.9) с внешним радиусом R₂ и внутренним R₁ можно представить в виде интеграла (5.23), но пределы интегрирования считать равными R₁ и R₂:

. (5.25)

С учетом того, что масса полого цилиндра равна

,

имеем

. (5.25)

3) Момент инерции однородного тонкого стержня массы m и длины l относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину.

Разобьем стержень на элементарные отрезки dx (рис.5.10). Тогда

,

где ρ – плотность стержня, приходящаяся на единицу его длины.

Момент инерции всего стержня находим, интегрируя данное выражение в пределах от 0 до , с последующим его удвоением

.

Так как , то

. (5.26)

4). Момент инерции шара массы m и радиуса R относительно оси OZ.

Выделим тонкий диск радиуса r и толщиной dz, удаленный от центра шара на расстояние z (рис.5.11). Масса этого диска равна

,

где - плотность шара, а .

Момент инерции данного диска определяется формулой

.

Момент инерции шара найдем интегрированием по z в пределах от 0 до R, с последующим удвоением результата, в силу симметрии задачи

.

Вводя в данную формулу массу шара, равную

,

получим окончательно

. (5.27)

Расчет момента инерции тела относительно произвольной оси облегчается, если использовать теорему Штейнера. В соответствии с этой теоремой, момент инерции относительно произвольной оси равен сумме моментов инерции тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между этими осями

. (5.28)

В качестве примера, рассчитаем момент инерции стержня относительно оси перпендикулярной стержню и проходящей через его конец (рис.7.12). По теореме Штейнера будем иметь

. (5.29)

Дата добавления: 2014-12-29