Дослідження замкнутого електричного кола постійного струму

Схема електричного кола подана на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Повне коло постійного струму

Елементами кола є: джерело струму з електрорушійною силою ξ і внутрішнім опором r, споживачем є змінний резистор (реостат) опором R. Крім того, таке коло прийнято характеризувати ще низкою параметрів: силою струму I в колі, напругою U на кінцях споживача, потужністю споживача Р_кор, коефіцієнтом корисної дії η кола. Опором сполучних проводів нехтуємо, вважаючи його значно меншим за
суму R + r – повний опір кола.

Метою дослідження поставимо вивчення залежності перерахованих величин від опору R споживача шляхом створення таблиці й побудови відповідних графіків.

Схема кола на рис. 2.1. та два абзаци, що йдуть за нею, – ні що інше, як концептуальна (змістова) модель.

Побудова математичної моделі. Основу для побудови математичної моделі складають відомі співвідношення:

– закон Ома для повного кола постійного струму ,

а також вирази, за якими обчислюються

– напруга на кінцях споживача U = IR;

– корисна потужність струму Р_кор = I ² R = IU;

– коефіцієнт корисної дії .

Характеристики джерела струму – ЕРС ξ и внутрішній опір r – будемо вважати відомими й такими, що не змінюються при зміні всіх решта параметрів кола, тобто константами.

Таким чином, математичною моделлю поставленої задачі є
наступна система чотирьох рівнянь:

де, як щойно було відмічено, величини R, U, I, Р_кор, η – змінні, а
ξ і r – константи.

Після створення математичної моделі перейдемо до моделі комп’ютерної. З цією метою в середовищі моделювання – електронних таблицях – реалізуємо

Алгоритм подальшої роботи:

1. Створити таблицю за зразком

	A	B	C	D	E	F	G
1.	R	I	U	Ркор	η (ККД)	Дано:
						ξ,В =
						r, Ом =	0,5
...	...	...	...	...	...

2. Увести в перший рядок імена змінних (параметрів).

3. Заповнити стовпці F(«Дано:») – іменами і G – значеннями вхідних параметрів.

4. Записати вміст комірок, які слід заповнювати з клавіатури – ключових елементів таблиці:

комірка	формула/число	коментарі
A2
A3	=A2+0,1
В2	=$G$2/($G$3+A2)	копіювати в В3
С2	=B2*A2	копіювати в С3
D2	=B2*C2	копіювати в D3
E2	=А2/($G$3+А2)	копіювати в Е3

5. Формули з комірок В2, С2, D2, E2 копіювати в третій рядок, як вказано в коментарях.

6. Помітити комірки з області А2: Е3 (другий і третій рядок) і збільшити розрядність на два десяткові розряди (Формат → Ячейка → вкладка «Число» → тип «Числовой», встановити «Число десятичных знаків» – 2).

7. Усі формули третього рядка копіювати в наступні 45 рядків.

8. За даними із стовпців A, B, C, D, E побудувати в одній координатній площині графіки залежності змінних I, U, Р_кор, η від опору R споживача (зовнішньої ділянки кола), як це показано на рис. 2.2.

	A	B	C	D	E	F	G
	R	I	U	Ркор	η, (ККД)	Дано:
	0,00	6,00	0,00	0,00	0,00	ξ,В =	3,00
	0,10	5,00	0,50	2,50	0,17	r, Ом =	0,50
...	...	...	...	...	...

З цією метою виділяємо всі дані у стовпцях A, B, C, D, E і звертаємося до програми «Мастер диаграмм» головного меню. На вкладці «Стандартные» вибираємо тип «Точечная», оскільки саме цей тип забезпечує представлення функціональної залежності виду у = у (х). При цьому за замовчанням аргументами стають дані з першого виділеного стовпця (в даному випадку стовпця А), і для цих даних лінія графіку не будується (!). Таким чином, виділяючи п’ять стовпців, ми отримуємо для типу «Точечная»чотири лінії, тоді як для типу «График» – п’ять ліній, включаючи і графік х = х (х), який виявляється явно зайвим.

Рис. 2.2. Графіки залежності I, U, Р_кор, ККД
від опору R споживача

Аналізуючи рис. 2.2, можемо зробити наступні висновки:

1) при збільшенні опору R споживача сила струму I в колі монотонно спадає до нуля;

2) максимальне значення сили струму відповідає умові R →0 – це режим короткого замикання;

3) напруга U на кінцях споживача монотонно росте, прямуючи до значення ξ;

4) монотонно зростає і значення ККД, наближаючись до 1 (100%), але при цьому сила струму в колі дорівнює нулю, і такий
режим практично не має сенсу;

5) і тільки корисна потужність змінюється не монотонно: її значення спочатку зростає, а потім спадає, так що графік залежності
Р_кор = Р_кор (R) має максимум, і максимальна корисна потужність струму розвивається при R = r = 0,5 Ом (коли опір споживача дорівнює внутрішньому опорові джерела струму). При цьому, однак, значення ККД не рівне 100%, а складає тільки 50%. Цей висновок виявляється справедливим для будь-яких електричних кіл. Його можна отримати й без комп’ютера, користуючись виключно аналітичними методами, але зараз ми маємо нагоду перевірити зазначений факт на комп’ю­терній моделі.

Питання і вправи

1. Зверніть увагу: сила струму I набуває максимального значення при R →0 («коротке замикання»). В цьому випадку напруга U на кінцях споживача дорівнює нулю.

За яких умов це дуже небезпечний режим експлуатації електричного кола, який супроводжується інтенсивним виділенням теплоти в різних елементах кола, зокрема, в джерелі струму, що веде до його руйнування, а коли цей режим цілком безпечний?

2. Змоделюйте заміну джерела струму на нове з тією ж ЕРС, але з внутрішнім опором r = 1,0 Ом.

2.1. Як це вплине на максимальні значення змінних?

2.3. Повторіть обчислювальний експеримент, поклавши ЕРС джерела струму ξ = 5,0 В, а його внутрішній опір r = 1,0 Ом.

3. Аналітично дослідіть на екстремум наступні функції

а) Р_кор = Р_кор (R) = ξ ² ;

б) .

2.2.2. Дослідження дільниці кола змінного струму

Рис. 2.3. Схема досліджуваного кола змінного струму

Математична модель будується на основі таких співвідношень:

– закон Ома для дільниці кола змінного струму, яка містить активний опір R, індуктивність L, та ємність С (рис. 2.3).

Тут U ₀ – амплітуда напруги на кінцях дільниці кола;

; ; – формули індуктивного X_L, ємнісного X_C й повного Z опору.

Знаючи повний опір Z кола, можна обчислити амплітуду сили струму: .

Оскільки повне аналітичне дослідження функції I ₀= I ₀(v) засобами диференціального числення вимагає часу, то, як правило, на уроках фізики його не виконують, а обмежуються якісними оцінками. Ми ж виконаємо таке дослідження в електронних таблицях за алгоритмом, майже таким самим, як попередній, з подальшою графічною інтерпретацією результатів. Відмінність полягає в тому, що змінюється вміст ключових комірок нової таблиці:

комірка	формула
A2	=$G$6
A3	=A2+$G$7
В2	=2*3,14*A2*$G$4
С2	=1/(2*3,14* A2*$G$5)
D2	=($G$3^2+(B2-C2)^2)^0,5
E2	=$G$2/D2*1000

Вміст комірок В2, С2, D2, Е2 слід копіювати у ті самі стовпці третього рядка (на цей момент комірка А3 вже заповнена). Далі всі формули третього рядка копіювати в наступні 10 рядків (у даному випадку цілком достатньо).

За даними стовпців A, B, C, D, E побудувати в одній координат­ній площині графіки залежності змінних X_L, X_C, Z, I ₀ від частоти v змінного струму, як це показано на рис. 2.4.

Графік функції I ₀= I ₀(v) у фізиці називають резонансною кривою.

	A	B	C	D	E	F	G
	v, Гц	XL, Ом	XC,, Ом	Z, Ом	I 0, мА	Дано:
						U 0, B =
						R, Ом =
						L, Гн =	0,75
						С, Ф =	1,4E-05
						v 0, Гц =
						D v, Гц =
...	...	...	...	...	...

Рис. 2.4. Побудова резонансної кривої

1. Для одночасного виведення на екран усіх чотирьох графіків
X_L = X_L (v), X_C = X_C (v), Z = Z (v) й I ₀ = I ₀(v) слід виділити всі заповнені комірки у стовпцях A, B, C, D, E.

Примітка. Якщо потрібно, щоб легенда показувала ім’я змінної поряд з відповідним маркером графіку, то виділення слід розпочинати з рядка 1 (разом з іменами стовпців). Якщо ж виділити тільки
числову частину таблиці (з рядка 2), то в легенді поряд з кожним
маркером замість імен стовпців з’являться написи Ряд 1, Ряд 2 тощо.

Відповідні графіки наведені на рис. 2.4:

X_L = 2 pvL; X_C = ; Z = ; I ₀ =

2. На графіках добре видно, що при частоті вимушених коливань v» 50 Гц маємо:

а) X_L = X_C; б) Z = Z_min; в) I = I_max.

3. Змінюючи по черзі значення активного опору R (комірка G3), індуктивності L (комірка G4) та ємності С (комірка G5), дослідіть їх вплив на вигляд кожної кривої в тому числі й резонансної.

Висновки

1. З розглянутих прикладів видно, що математичне моделювання із залученням комп’ютера (комп’ютерне моделювання) відкриває великі можливості для графічної інтерпретації (представлення) складних аналітичних залежностей.

2. У двох задачах були продемонстровані приклади адекватного використання комп’ютера при вивченні природних наук, і зокрема, фізики. Саме завдяки цій обставині економиться час роботи за рахунок автоматизації рутинних обчислювальних операцій.

3. Обчислювальний експеримент з математичною моделлю
дозволяє істотно спростити процедуру розв’язування задач.

Дата добавления: 2015-01-03