Эллипс и гипербола

Лекция 12. Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола. Вывод канонических уравнений.

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек и (фокусов эллипса) есть величина постоянная , большая расстояния между фокусами .

Расстояние между фокусами называется фокальным расстоянием. Если - точка данного эллипса, то и называются фокальными радиусами точки .

Из определения следует, что если точки и совпадают, то эллипс является окружностью радиуса . То есть окружность есть частный случай эллипса.

Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ось проходила через фокусы и , а начало являлась серединой отрезка . Тогда , , а фокальные радиусы произвольной точки эллипса будут иметь вид

.

По определению , поэтому .

Дважды возводя в квадрат, после несложных преобразований получим:

, где .

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Свойства эллипса.

1. Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат – его центром симметрии.

2. Эллипс пересекает координатные оси в точках .

3. Координаты и любой точки эллипса удовлетворяют условиям: .

4. Для точек эллипса, расположенных в первой координатной четверти, с возрастанием их абсциссы от до ордината убывает от до .

Отрезок называется большой осью, а - малой осью эллипса.

Число называется эксцентриситетом эллипса. Очевидно, что для эллипса . Эксцентриситет равен нулю тогда и только тогда, когда , то есть когда эллипс является окружностью.

Прямые называются директрисами эллипса.

Теорема. Отношение расстояния от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету.

Доказательство. Рассмотрим, например, фокус и соответствующую ему директрису . Расстояние от точки до фокуса вычисляется по формуле или, так как , по формуле . Расстояние от той же точки до директрисы вычисляется по формуле . Тогда

Дата добавления: 2014-12-24