Лекция 14. Прямая линия в пространстве. Различные виды уравнения. Взаимное расположение двух прямых

Пусть - прямая в пространстве, - некоторая точка, принадлежащая прямой , и - ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой. Составим уравнение этой прямой.

Пусть - произвольная точка прямой. Очевидно, что точка принадлежит прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

Так как и , то, используя условие коллинеарности векторов, заключающееся в пропорциональности координат, получим

.

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве, а - параметром прямой.

Любой ненулевой вектор, коллинеарный прямой, называется направляющим вектором прямой. В нашем случае, - есть направляющий вектор прямой.

Исключая параметр из параметрического уравнения прямой, получим каноническое уравнение прямой:

.

Если прямая задается двумя точками и , то в качестве направляющего вектора этой прямой можно выбрать вектор . Тогда из канонического уравнения прямой получим

.

Это уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две точки.

Прямая в пространстве может быть задана как пересечение двух плоскостей: и , то есть в виде

.

В этом случае направляющим вектором будет вектор:

.

За угол между прямыми с направляющими векторами и примем угол между этими векторами. Тогда имеем

.

Рассмотрим взаимное расположение двух прямых. Пусть заданы две прямые своими каноническими уравнениями:

и .

Рассмотрим векторы , и .

Дата добавления: 2014-12-24