Лекция 15. Поверхности 2-го порядка. Поверхности вращения. Цилиндрические поверхности. Конические поверхности

Теорема.

Расстояние от точки до прямой , заданной точкой и направляющим вектором может быть найдено по формуле

.

А расстояние между двумя скрещивающимися прямыми находится по формуле

.

Поверхностью вращения называется поверхность, которая вместе с каждой своей точкой содержит всю окружность, полученную вращением этой точки вокруг некоторой фиксированной прямой . Прямая , вокруг которой производится вращение, называется осью вращения. Вращение точки вокруг оси происходит в плоскости, перпендикулярной оси. В сечении поверхности вращения плоскостями, перпендикулярными оси вращения, получаются окружности, которые называются параллелями. Плоскости, проходящие через ось вращения, пересекают поверхность вращения по линиям, называемым меридианами.

Теорема. В прямоугольной системе координат уравнение

есть уравнение поверхности вращения, образованной вращением вокруг оси линии, заданной уравнениями

.

Цилиндрической поверхностью или цилиндром называется поверхность, которая вместе с каждой точкой содержит всю прямую, проходящую через точку , параллельно данному ненулевому вектору . Прямые, параллельные вектору и принадлежащие цилиндрической поверхности, называются образующими этой поверхности.

Цилиндрическая поверхность может быть образована следующим образом. Пусть - некоторая линия, а - ненулевой вектор. Поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через некоторую точку линии параллельно вектору , будет цилиндрической. В этом случае линия называется направляющей это поверхности.

Если прямоугольная система координат выбрана так, что образующие цилиндрической поверхности второго порядка были параллельны оси , а направляющая в системе имела каноническое уравнение, то цилиндрические поверхности определяются следующим образом.

- эллиптический цилиндр;

- гиперболический цилиндр;

- параболический цилиндр;

- цилиндр, распавшийся на пару пересекающихся по оси плоскостей;

- цилиндр, распавшийся на пару параллельных плоскостей;

- цилиндр, представляющий собой пару слившихся плоскостей.

Эти уравнения называются каноническими уравнениями соответствующих цилиндрических поверхностей второго порядка.

Если в каноническом уравнении эллиптического цилиндра , то направляющей цилиндра служит окружность , лежащая в плоскости . В этом случае поверхность является цилиндром вращения.

Конической поверхностью или конусом с вершиной в точке называется поверхность, которая обладает тем свойством, что вместе с каждой своей точкой , отличной от точки , эта поверхность содержит прямую .

Прямые проходящие через вершину конуса и лежащие на нем, называются образующими этого конуса.

Рассмотрим в пространстве линию и точку , не лежащую на линии . Поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через точку и через некоторую точку линии , является конической поверхностью с вершиной .

В этом случае линия называется направляющей.

Рассмотрим коническую поверхность с вершиной в начале прямоугольной системы координат , направляющая которой служит эллипс :

.

Найдем уравнение этой поверхности. Пусть точка , отличная от точки , принадлежит конусу . Тогда прямая пересечет направляющую в некоторой точке . Так как и векторы и коллинеарны, то найдется такое вещественное число , что , или в координатах:

.

Отсюда находим

.

Подставив полученные выражения в первое из равенств, после несложных преобразований найдем:

.

Итак, координаты любой точки конуса удовлетворяют этому уравнению. Нетрудно убедиться также, что если точка не принадлежит конусу, то ее координаты не удовлетворяют этому уравнению.

Таким образом, мы получили уравнение второй степени, поэтому конус называется конусом второго порядка. А само уравнение называется каноническим уравнением конической поверхности второго порядка.

В случае, когда направляющая конической поверхности второго порядка является окружностью, то есть когда , уравнение принимает вид

.

Поверхность, определяемая этим уравнением в прямоугольной системе координат, называется круговой конической поверхностью или круговым конусом.

Практические занятия:

Тема 1: Бинарные операции на множестве. Понятие группы, кольца и поля. Примеры. Поле комплексных чисел. [7] № 101 – 113, 17 – 18 б.; [6] № 2.8, 2.10, 2.13, 2.15-2.21, 18-20 б.

Тема 2: Операции над комплексными числами. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа. [7] № 118 – 119, 136 – 140, 19 -20 б., [6] № 2.22 – 2.23, 2.26 – 2.28, 2.46-2.50, 20 – 23 б.

Тема 3: Перестановки и подстановки. Группа подстановок. Циклические подстановки. [7] № 219 -221, 223, № 410 / 28 – 29, 55 -56 б. [6] № 3.2 – 3.6, 3.38 / 26 – 27, 33 б

Тема 4: Матрицы и действия над ними. Определители второго и третьего порядка. [7] № 235 – 240, 243 – 245, 231-232 /31-32 б.,[6] № 3.24-3.27, 3.30(1,2)/29-30б.

Тема 5: Определители и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Определители n-го порядка [7] № 231–232, 266–267, 273–280, № 374, 31, 35–37, 48 б., № 442 / 61 б., [6] № 3.30–3.31 / 30–31 б., № 4.24–4.28 / 44-45 б.

Тема 6: Обратная матрица и методы ее вычисления. Матричные уравнения. [7] № 400, 410–411 / 55–56 б., [6] № 3.38–3.40 / 33–34 б.

Тема 7: Системы линейных уравнений. Арифметическое n-мерное векторное пространство. Метод Гаусса. Правило Крамера. [7] № 443– 447 / 62 – 64 б.,[6] № 4.18–4.19, 4.64 / 41 – 43, 51 б.

Тема 8: Многочлены от одной переменной НОД многочленов. Корни многочленов. Формулы Виета. Основная теорема алгебры и ее следствие. [7] № 400– 402 / 53 – 54 б., № 443–447, 449 / 62 – 64 б. [6] № 3.55-3.59, 4.18 - 4.19, 4.64 /36-37, 41-43, 51 б.

Тема 9: Векторы. Базис векторного пространства. [7] № 650, 167, 173 /89, 22 – 23 б., [6] № 11.59, 11.60, 11.65, 11.74 – 11.77, 11.81 – 11.86 / 123 – 125 б.

Тема 10: Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. [7] 104, 114, 117, 118, 124, [8] 424, 428, 445(1,3,6), 446(1,3), 454, 462, 468(1,3), 473, 487(1), 489(1,3).

Тема 11. Прямая линия на плоскости. Различные виды уравнений на плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение двух прямых. [7] 279(а, в), 282(а, в), 289(а, в), 294(а), [8] 552, 553.

Тема 12. Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола. Вывод канонических уравнений. [7] 376, 379, 392, 403, 477(а, в), 479, 486, 507(а), 515, [8] 558(1,3), 559(1,3), 564(1, 3), 567, 584(1), 585(1), 598, 600(1).

Тема 13. Плоскость в пространстве. Различные виды уравнения плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. [7] 756, 758(а, в), 764(а, в), 765(а, в), 767(а, в), 794(а, в), 796(а, в), 798, [8] 713, 715, 718(1), 719(1), 728(1, 3), 730(1), 733(1, 3).

Тема 14. Прямая линия в пространстве. Различные виды уравнения. Взаимное расположение двух прямых. [7] 1058(а), 1059(а, в), 1060(а), 1066(а), 1068(а), 1113(а), 1116(а), 1122(а), [8] 624(1, 3), 625(1,3), 630(1), 632, 645(1).

Тема 15. Поверхности 2-го порядка. Поверхности вращения. Цилиндрические поверхности. Конические поверхности. [7] 1252, 1254(а, в), 1256, [8] 769, 770(1), 771, 775(1).

Самостоятельная работа студентов:

Тема 1: Бинарные операции на множестве. Понятие группы, кольца и поля. Примеры. Поле комплексных чисел. [7] № 101 – 113, 17 – 18 б.; [6] № 2.8, 2.10, 2.13, 2.15-2.21, 18-20 б.

Тема 2: Операции над комплексными числами. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа. [7] № 118 – 119, 136 – 140, 19 -20 б., [6] № 2.22 – 2.23, 2.26 – 2.28, 2.46-2.50, 20 – 23 б.

Тема 3: Перестановки и подстановки. Группа подстановок. Циклические подстановки. [7] № 219 -221, 223, № 410 / 28 – 29, 55 -56 б. [6] № 3.2 – 3.6, 3.38 / 26 – 27, 33 б

Тема 4: Матрицы и действия над ними. Определители второго и третьего порядка. [7] № 235 – 240, 243 – 245, 231-232 /31-32 б.,[6] № 3.24-3.27, 3.30(1,2)/29-30б.

Тема 5: Определители и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Определители n-го порядка [7] № 231–232, 266–267, 273–280, № 374, 31, 35–37, 48 б., № 442 / 61 б., [6] № 3.30–3.31 / 30–31 б., № 4.24–4.28 / 44-45 б.

Тема 6: Обратная матрица и методы ее вычисления. Матричные уравнения. [7] № 400, 410–411 / 55–56 б., [6] № 3.38–3.40 / 33–34 б.

Тема 7: Системы линейных уравнений. Арифметическое n-мерное векторное пространство. Метод Гаусса. Правило Крамера. [7] № 443– 447 / 62 – 64 б.,[6] № 4.18–4.19, 4.64 / 41 – 43, 51 б.

Тема 8: Многочлены от одной переменной НОД многочленов. Корни многочленов. Формулы Виета. Основная теорема алгебры и ее следствие. [7] № 400– 402 / 53 – 54 б., № 443–447, 449 / 62 – 64 б. [6] № 3.55-3.59, 4.18 - 4.19, 4.64 /36-37, 41-43, 51 б.

Тема 9: Векторы. Базис векторного пространства. [7] № 650, 167, 173 /89, 22 – 23 б., [6] № 11.59, 11.60, 11.65, 11.74 – 11.77, 11.81 – 11.86 / 123 – 125 б.

Тема 10: Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. [7] 104, 114, 117, 118, 124, [8] 424, 428, 445(1,3,6), 446(1,3), 454, 462, 468(1,3), 473, 487(1), 489(1,3).

Тема 11. Прямая линия на плоскости. Различные виды уравнений на плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение двух прямых. [7] 279(а, в), 282(а, в), 289(а, в), 294(а), [8] 552, 553.

Тема 12. Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола. Вывод канонических уравнений. [7] 376, 379, 392, 403, 477(а, в), 479, 486, 507(а), 515, [8] 558(1,3), 559(1,3), 564(1, 3), 567, 584(1), 585(1), 598, 600(1).

Тема 13. Плоскость в пространстве. Различные виды уравнения плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. [7] 756, 758(а, в), 764(а, в), 765(а, в), 767(а, в), 794(а, в), 796(а, в), 798, [8] 713, 715, 718(1), 719(1), 728(1, 3), 730(1), 733(1, 3).

Тема 14. Прямая линия в пространстве. Различные виды уравнения. Взаимное расположение двух прямых. [7] 1058(а), 1059(а, в), 1060(а), 1066(а), 1068(а), 1113(а), 1116(а), 1122(а), [8] 624(1, 3), 625(1,3), 630(1), 632, 645(1).

Тема 15. Поверхности 2-го порядка. Поверхности вращения. Цилиндрические поверхности. Конические поверхности. [7] 1252, 1254(а, в), 1256, [8] 769, 770(1), 771, 775(1).

Дата добавления: 2014-12-24