Уточненный метод Эйлера

Можно построить еще пару расчетных формул, аналогичных (22), с такой же погрешностью на одном шаге. Для этого интеграл в правой части выражения (14) вычислим по формуле прямоугольников, взяв значение (х, у) в средней точке отрезка .

Тогда получим

. (24)

Как и в предыдущем случае значение вычислим по формуле Эйлера с шагом

. (25)

При замене входящего в правую часть (24) на , правая часть выражения (24) изменится на величину 0 (h³), следовательно, отбрасывая в (24)величину 0 (h³) и используя(25), получим пару расчетных формул, имеющих на одном шаге погрешность 0 (h³).

, (26)

.

Формулы (26) называются уточненным методом Эйлера. Погрешность уточненного метода Эйлера также оценивается по формуле (23).

Пример 5. Уточненным методом Эйлера построить таблицу решений уравнения из примера 4 с h=0,2. Сравнить результаты решения с результатами, полученными при решении методом Эйлера, Эйлера-Коши и с точным решением.

Решение. Результаты вычислений по формулам (26) приведены в таблице 3.

Таблица 3.

0,0	1,0000	0,0000	0,1	1,0000	0,0400	1,0000
0,2	1,0400	0,0416	0,3	1,0816	0,1298	1,0408
0,4	1,1698	0,0936	0,5	1,2634	0,2527	1,1735
0,6	1,4225	0,1717	0,7	1,5942	0,4464	1,4333
0,8	1,8689	0,2989	0,9	2,1678	0,7804	1,8965
1,0	2,6493					2,7183

Сравнение с результатами решения по методу Эйлера-Коши и с точным решением показывает, что уточненный метод Эйлера в данном примере дает несколько худшие результаты, чем метод Эйлера-Коши.

Метод Эйлера-Коши и другие рассмотренные методы относятся к семейству методов Рунге –Кутта, которые в общем случае строятся следующим образом.

Дата добавления: 2014-12-25