Вывод расчетных формул Рунге-Кутта

Как уже было показано, решение задачи Коши (1),(2) может быть записанов виде ряда Тейлора (7) или (8), причем все производные, входящие в (8), могут быть фактически вычислены на основании (9). Но в связи с тем, что формулы (9) для вычисления производных очень громоздки, их непосредственное использование на практике весьма затруднительно.

Рунге предложил вместо этого вычислять при помощи линейной комбинации

, (27)

где Pi-постоянные коэффициенты;

, (28)

, (29)

и a i, b ij – постоянные, а1=0

Расписывая последовательно формулы (28), (29) получаем

,

,

, (30)

).

Зная a i, b ij для заданного значения h можем вычислить последовательно все ki, а затем и продвинуться на один шаг, найдя . Выбор постоянных Pi, a i, b ij производится так, чтобы разложения (8) и (27) по степеням h совпадали бы до возможно более высоких степеней h при произвольной функции f(x,y) и произвольном шаге h.

Рассмотрим вопрос о выборе параметров Pi, a i, b ij. Обозначим через

. (31)

В силу нашего предположения о совпадении разложений (8) и (27) будем иметь, что

, (32)

т.е. согласно формуле Тейлора

, (33)

где 0<q<1.

Мы должны подобрать Pi, a i, b ij так, чтобы S было возможно большим для произвольных f(x,y) и k. Величина j(h) называется погрешностью метода Рунге-Кутта на одном шаге, а S+1 -порядком погрешности метода. Таким образом, разность между точным значением при продвижении на один шаг h и приближенным его значением, вычисленным по формуле (27),т.е. погрешность метода Рунге-Кутта на одном шаге будет равна

.

Очевидно, что условие j(0)=0 будет выполнено всегда, так как ki(0)=0

. (34)

Рассмотрим метод Рунге-Кутта для различных значений r.

I .k= 1

. (35)

, (36)

, (37)

.

При h=0

. (38)

Очевидно, что равенство выполняется для всех f(x,y) лишь в случае . Далее очевидно, что в общем случае нулю не равно.

Таким образом, при r=1 получим формулу Эйлера:

. (39)

Для погрешности метода Эйлера на одном шаге получаем выражение

. (40)

II.r=2

, (41)

, (42)

. (43)

Вычислим производные функции j(h)

], (44)

, (45)

. (46)

Согласно исходному уравнению

,

. (47)

Используя (47), вычисляем .

, (48)

, (49)

, (50)

(51)

Соотношение выполняется для всех f(x,y), если .

Соотношение выполняется для всех f(x,y), если и .

Очевидно, что в общем случае нулю не равна, т.е. для r=2 совпадение формул (8) и (27) возможно только до вторых степеней h включительно.

Таким образом, для четырех параметров имеем систему из трех уравнений

(52)

.

Система (52) имеет бесчисленное множество решений. Произвольно задавая один из параметров и вычисляя остальные на основании (52), получим различные формулы Рунге-Кутта, имеющие порядок ошибки S+1=3 (на одном шаге)

На практике следует выбирать такие решения (52), которые дают более удобные с точки зрения вычислений формулы.

Для полученных при r=2 формул погрешность на одном шаге имеет выражение

. (53)

Рассмотрим некоторые из формул (41), беря различные значения (52). Например, при

получим формулы

,

,

или

. (54)

Если обозначить , то получим формулы метода Эйлера-Коши:

Если положить =0, то на основании (52) будем иметь:

(55)

что соответствует паре расчётных формул (26) уточнённого метода Эйлера

Если положить и

то получим расчётные формулы:

(56)

причём

(57)

Рассмотрим случай В этом случае (58)

(59) (60)

В случае удаётся обратить в нуль только производные

Четвёртая производная в общем случае нулю не равняется.

Поэтому при r=3, S=3, т.е. порядок погрешности расчётной формулы (58) будет

Расчётных формул (58) при S=4 не существует. Чтобы S=3, т.е. равнялись нулю необходимо и достаточно выполнение следующих соотношений:

(61)

Эта система шести уравнений с восьмью неизвестными имеет бесчисленное множество решений. Выбирая в качестве величин входящих в формулу (61)б получим расчётные формулы Рунге-Кутта, с порядком погрешности на одном

шаге

(62)

Рассмотрим наиболее употребительные из формул (58)

а). Пусть (63)

Соответствующая расчётная формула имеет вид:

(64)

(65)
Пусть

(66)

IV. Рассмотрим случай В этом случае (67)

(68)

При можно построить расчётные формулы с S=4, но не удаётся построить формулы с S=5. Постоянные коэффициенты входящие в формулу (67), удовлетворяют системе из 11 уравнений с 13 неизвестными, которые получаются приравниваем нулю производных ), .

Выбирая в качестве постоянных коэффициентов решения полученной системы уравнений,

Получим расчетные формулы Рунге-Кутта, имеющие порядок погрешности на шаге

Рассмотрим некоторые частные случаи формул Рунге-Кутта при r=4.

а). Положим

(69)

(70)

(71)

Расчётная формула (70) наиболее распространена в вычислительной практике, - формула Рунге-Кутта.

б).

(72)

(73)

(74)

Погрешность каждой из формул Рунге-Кутта при r = 4 равна

. (75)

Как показывают вычисления, при r = 5 не удаётся построить расчётные формулы даже с S =5, т.е., увеличивая r, мы не достигаем увеличения порядка точности. Поэтому эти формулы применения не находят.

Применяя ту или иную формулы Рунге-Кутта, мы найдём значение

и, следовательно, (76)

Затем можно взять за начальную точку а за начальное значение

и придвинуться на ещё один шаг такой же или другой длины. Повторяя этот процесс, мы получим таблицу значений искомого решения в некоторых точках.

Дата добавления: 2014-12-25