Основные дифференциальные уравнения замкнутой системы

При выводе основных дифференциальных уравнений замкнутой системы полагаем, что сдвиг , случайный процесс пересчитан на вход фильтра и объединен со случайным процессом , в результате чего на выходе дискриминатора получаем некоторый случайный процесс .

Обозначим . Тогда упрощенная структурная схема замкнутой системы примет вид, изображенный на рис. 4.7.

Рис. 4.7. Упрощенная структурная схема замкнутой РТС

В дальнейшем под будем понимать либо передаточную характеристику фильтра с обозначением (в частности, ), либо линейный оператор, в котором .

Записывая выражение для y(t), находим нелинейное дифференциальное уравнение системы

,

где — оператор дифференцирования.

В общем случае найти решение этого нелинейного дифференциального уравнения в явном аналитическом виде либо очень сложно, либо вовсе невозможно. Нелинейность его связана с нелинейностью дискриминационной характеристики . Однако при нормальной работе замкнутой системы величина ошибки , как правило, меняется в пределах линейного участка дискриминационной характеристики (см. рис. 4.3), где . Параметр называют крутизной характеристики . Тогда структурная схема замкнутой РТС еще более упростится (рис. 4.8).

Рис. 4.8. Линейная модель замкнутой системы

Дифференциальное уравнение (4.1) в этом случае линеаризуется и записывается следующим образом:

.

Так как система линейная, то можно рассматривать прохождение возмущений и отдельно. Операторный коэффициент передачи системы по отношению к процессу

.

Операторный коэффициент передачи системы по отношению к процессу

.

Однако при изучении замкнутых систем чаще анализируют не выходной процесс , а ошибку , которую также можно рассматривать как некоторый выходной процесс, снимаемый после вычитающего устройства. С учетом (4.2) дифференциальное уравнение для ошибки примет следующий вид:

.

Операторные коэффициенты передачи системы для и по отношению к процессам и запишем таким образом:

,

.

Ошибку часто называют динамической, а — флуктуационной. Обычно считают, что математическое ожидание . Если оно не равно нулю, то его следует включить в динамическую ошибку . Тогда математическое ожидание суммарной ошибки

.

Наличие динамической ошибки обусловлено инерционностью системы управления, которая может не успевать в силу своей инерции отрабатывать (отслеживать) быстрые изменения входных воздействий. Флуктуационная ошибка связана с прохождением шумов. Ошибки эти находятся в противоречии. Стремление уменьшить одну из ошибок неизбежно приводит к увеличению другой. Стремление уменьшить динамическую ошибку приводит к необходимости снижения инерционности системы, что делает ее более чувствительной к шумовым воздействиям.

Одной из задач дальнейшего анализа замкнутых систем и их моделирования на ЭВМ является исследование поведения этих ошибок при различных фильтрах K(p) в режиме нормальной работы и в режиме срыва регулирования.

Для линейных моделей систем в силу справедливости принципа суперпозиции, как это видно из формул (4.2) – (4.7), поведение динамической и флуктуационной ошибок можно изучать раздельно.

Дата добавления: 2014-12-26