Приемы интегрирования уравнений Ньютона

Рассмотрим уравнение движения материальной точки при условии зависимости силы от координат, скорости и времени

.

Обычно рассматривают три частных случая:

1) Сила зависит только от времени, , задача решается двукратным интегрированием по времени, (пример - реактивное движение ракеты).

2) Сила зависит только от скорости, . В этом случае для одномерного движения записывая , можно разделить переменные, и получить зависимость t(v), обращая которую, находим v(t), (пример- движение тела в среде с сопротивлением).

3) Сила зависит только от координат, , в этом случае интегрирование обычно осуществляется с привлечением закона сохранения момента количества движения и закона сохранения энергии, (классический пример - задача о движении материальной точки в поле центральных сил).

Пример. Вычисление периода колебаний математического маятника.

Запишем закон сохранения энергии для материальной точки, совершающей колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести: , где: -масса, -длина нити, -угол отклонения нити от вертикали, -максимальный угол отклонения от вертикали.

Разделяя переменные, получим: .

К сожалению, интеграл не вычисляется в элементарных функциях, но легко вычисляется численными методами.

Окончательное выражение для периода колебаний имеет вид , где – полный эллиптический интеграл 1-го рода.

Дата добавления: 2014-12-26