КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Квадратурная формула Гаусса
Полиномы вида называются полиномами Лежандра. Свойства этих полиномов: 1. , ; 2. , где - любой полином степени k, меньшей n; 3. полином Лежандра имеет n различных и действительных корней, которые расположены на интервале . Первые пять полиномов Лежандра: Рассмотрим функцию , заданную на стандартном промежутке . Нужно подобрать точки и коэффициенты , чтобы квадратурная формула
(8.14)
была точной для всех полиномов возможной наивысшей степени N. Так как в нашем распоряжении имеются 2n постоянных и , а полином степени 2n-1 определяется 2n коэффициентами, то эта наивысшая степень полинома в общем случае равна N=2n-1. Для обеспечения равенства (8.14) необходимо и достаточно, чтобы оно было верным при . Действительно, полагая и , будем иметь . Таким образом, учитывая соотношения , заключаем, что для решения поставленной задачи достаточно определить постоянные и из системы 2n уравнений: (8.15) Система (8.15) нелинейная, и ее решение обычным путем представляет большие трудности. Рассмотрим полиномы , где - полином Лежандра. Т.к. степени этих полиномов не превышают 2n-1, то на основании системы (8.15) для них должны быть справедлива формула (8.14) и . С другой стороны, в силу свойства ортогональности полиномов Лежандра выполнены неравенства: при , поэтому (8.16). Равенства (8.16) будут обеспечены при любых значениях , если положить , т.е. для достижения наивысшей точности квадратурной формулы (8.14) в качестве точек достаточно взять нули соответствующего полинома Лежандра. Как известно, из свойства 3, эти нули действительны, различны и расположены на интервале . Зная абсциссы , легко можно найти из линейной системы первых n уравнений системы (8.15) коэффициенты Аi (i = 1, 2, …, n). Определитель этой подсистемы есть определитель Вандермонда
и, следовательно, определяются однозначно. Формула (8.14), где - нули полинома Лежандра и определяются из системы (8.15), называется квадратурной формулой Гаусса. Рассмотрим теперь использование квадратурной формулы Гаусса для вычисления общего интеграла . Делая замену переменной , получим . Применяя к последнему интегралу, квадратурную формулу Гаусса получим: , (8.16) где , - нули полинома Лежандра , т.е. . Остаточный член формулы Гаусса (8.16) с n узлами выражается следующим образом: . Отсюда получаем: ,
,
,
,
. Выведем квадратурную формулу Гаусса для случая трех ординат. Полином Лежандра третьей степени есть . Приравнивая этот полином нулю, находим: , , . Для определения коэффициентов в силу системы (8.15) имеем: Отсюда: , . Следовательно, . Таблица 8.2 Элементы формулы Гаусса
Пример 8.4 Вычислить интеграл из примера 8.3. по формуле Гаусса для четырех и для пяти точек. Оценить точность вычислений.
В ответе сохраняем шесть верных знаков.
Ответ: 0,423195 Рис. 8.4. Решение примера 8.3 в Mathcad Глава 9. Приближенное решение обыкновенных
Дата добавления: 2014-12-26; Просмотров: 596; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |