Общая формула трапеций и ее остаточный член

Формула трапеций и ее остаточный член

При n=1 получим

, отсюда:

(8.4)

Если подынтегральная функция дважды дифференцируема, то остаточный член квадратурной формулы (8.4) равен:

, где

Рис 8.1. Общая формула трапеций

Для вычисления интеграла разделим промежуток интегрирования [ a,b ] на n равных частей и к каждому из них применим формулу трапеций (8.4).

Положим и обозначим через значения подынтегральной функции в точках x_i тогда: , или

. (8.5)

Геометрически формула (8.5) получается в результате замены графика подынтегральной функции ломаной линией.

Oстаточный член общей формулы трапеций (8.5) равен:

где . (8.6)

Рассмотрим среднее арифметическое значение второй производной на отрезке [a,b] по всем промежуткам

(8.7)

Очевидно, m заключается между наименьшим m₂ и наибольшим M₂ значениями второй производной на отрезке [a,b], т.е. .

В силу непрерывности на отрезке [a,b], она принимает все значения от m₂ до M₂. Значит, существует точка ξ, такая что μ=f''(ξ). Из формул (8.6) и (8.7) получим:

(8.8)

где

Пример 8.1. Выполнено в Mathcad

Вычислить интеграл

по методу трапеций с тремя десятичными знаками.

Сначала для сравнения покажем результат, вычисленный в Mathcad стандартным способом с тремя верными цифрами после запятой.

В Mathcad числа могут быть вычислены с 17 десятичными знаками, поэтому не будем учитывать погрешности вычислений и тогда погрешность метода ε=0,0005. Для достижения заданной точности решим неравенство

находится по формуле

где R- остаточный член формулы трапеций, который находится по формуле (8.8)

Пусть M-максимальное по модулю значение f2(x) на [a,b] тогда

так как

Подставляем в формулу h и решаем неравенство относительно n:

 

 

Для всех натуральных значений " n " больших, чем полученный корень, остаточный член формулы трапеций будет меньше заданной точности e

Hайдем вторую производную f(x) и ее максимум на [a,b]

Найдем значение n, при котором остаточный член будет меньше заданной точности

Положим

Рис. 8.2. Решение примера 8.1 в Mathcad

8.3 Формула Симпсона и ее остаточный член

Рис 8.2. Формула Симпсона

Найдем коэффициенты -Котеса для n=1

.

Подставим в формулу (8.3)

.

Если подынтегральная функция четырежды дифференцируема, то остаточный член квадратурной формулы Симпсонаравен:

Дата добавления: 2014-12-26