Составление интегродифференциальных уравнений

Задача расчета переходных процессов заключается в определении мгновенных значений токов в ветвях и напряжений на элементах электрической цепи после коммутации при . При составлении уравнений по законам Ома и Кирхгофа используются соотношения, связывающие мгновенные значения напряжений на пассивных элементах R, L, C электрических цепей с мгновенными значениями токов, протекающих через них (описывающих вольт-амперные характеристики элементов)

a) сопротивление

– закон Ома (6.3)

б) индуктивность

– закон Фарадея (6.4)

в) емкость

(6.5)

С учетом этих соотношений уравнения, составленные по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений, приобретают вид интегродифференциальных уравнений, которые могут быть преобразованы в дифференциальные уравнения. Порядок дифференциального уравнения n определяется количеством независимых реактивных элементов. Дифференциальные уравнения I порядка (n=1) описывают переходные процессы в электрических цепях с одним реактивным элементом (RL и RC – цепи). При n=2 электрическая цепь содержит L и C элементы и переходные процессы описываются дифференциальными уравнениями II порядка.

Примеры составления дифференциальных уравнений:

1. RL – цепь (рис. 6.2).

По 2-му закону Кирхгофа

.

Учитывая (6.3) и (6.4), запишем

.

Полученное соотношение является неоднородным дифференциальным уравнением I-го порядка, где независимой переменной является ток .

2. RC – цепь (рис. 6.3).

По второму закону Кирхгофа

.

Дифференцируя (1.5) записываем

.

Далее получаем дифференциальное уравнение

.

3. RLC – последовательный колебательный контур (рис. 6.4).

По 1-му и 2-му законам Кирхгофа

.

C учетом (6.3), (6.4), (6.5) имеем

.

Учитывая, что ток в цепи получаем

.

4. RLC – параллельный колебательный контур

По 1-му и 2-му законам Кирхгофа

, .

Учитывая, что

и ,

записываем

.

После преобразования имеем неоднородное дифференциальное уравнение II порядка

.

Дата добавления: 2014-12-26