Системы уравнений четырехполюсников

Линейные четырехполюсники

Электрическая цепь, имеющая две пары зажимов, называется четырехполюсником. Понятием четырехполюсника пользуются в тех случаях, когда необходимо знать токи и напряжения только в двух ветвях электрической цепи. Как четырехполюсники рассматриваются электрические фильтры, трансформаторы, длинные линии и др. Изображение четырехполюсника на схемах электрических цепей показано на рис. 8.1.

К входным зажимам подключается источник электрической энергии, к выходным – нагрузка. Часто один входной и один выходной зажимы соединяют между собой (зажимы и ) и называют общим зажимом.

Четырехполюсники могут быть линейными и нелинейными, активными и пассивными. Ниже рассматриваются линейные четырехполюсники, все элементы которых имеют линейные ВАХ. Активные четырехполюсники содержат источники электрической энергии, пассивные состоят только из нагрузок. Смысл использования четырехполюсников заключается в том, что сложная электрическая цепь может быть представлена с помощью небольшого набора обобщенных параметров. Пассивные четырехполюсники могут быть характеризованы всего тремя независимыми параметрами.

Обозначения направлений входных и выходных токов и напряжений показаны на рис. 8.2.

Напряжения и токи создаются подключением к одной или двум парам зажимов четырехполюсника активных цепей. При этом соотношения между токами и напряжениями на выходе и входе четырехполюсника устанавливаются системой двух уравнений. Существует шесть вариантов записи системы «Z» и «Y» уравнений. Наиболее распространенными являются системы «Z» и «Y» параметров. Уравнения в системе «Z» параметров:

(8.1)

Уравнения в системе «Y» параметров

(8.2)

Коэффициенты в уравнениях (8.2) представляют собой входные, выходные и передаточные проводимости:

– входная проводимость при режиме короткого замыкания на выходе;

– выходная проводимость при режиме короткого замыкания на входе;

– передаточная проводимость со входа на выход при режиме короткого замыкания на выходе;

– передаточная проводимость с выхода на вход при режиме короткого замыкания на входе.

Если , четырехполюсник является обратимым, если – симметричным. Симметричный четырехполюсник является обратимым. Системам уравнений (8.1) и (8.2) соответствуют эквивалентные схемы пассивных четырехполюсников на рисунках 8.3, а и б.

Четырехполюсники могут соединяться между собой различными способами. Наиболее распространенные способы соединения – последовательный, параллельный и каскадный – показаны на рис. 8. 4, а, б и в.

Соединения четырехполюсников можно рассматривать как новый четырехполюсник с эквивалентными параметрами, которые определяются при последовательном соединении суммированием соответствующих Z параметров, а при параллельном соединении суммированием Y параметров исходных четырехполюсников. Важными параметрами четырехполюсников являются коэффициенты передачи по току и напряжению и входное сопротивление, определяемые как

. (8.3)

Эти параметры могут быть выражены через исходные параметры четырехполюсников (, или другие) и сопротивление нагрузки . Например, входное сопротивление через Z параметры, выраженное из системы уравнений (8.1), вычисляется по формуле

. (8.4)

8.2. Характеристики линейных четырехполюсников

Характеризуют передачу воздействия от входа к выходу электрической цепи. Чаще всего используют передаточную характеристику по напряжению

,

где р – некоторый оператор. Если в качестве оператора рассматривают , функция принимает смысл комплексной частотной характеристики четырехполюсника

. (8.5)

Комплексную характеристику (коэффициент передачи) можно представить в виде

, (8.6)

где – называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), – фазочастотной характеристикой (ФЧХ) четырехполюсника. АЧХ – это зависимость коэффициента передачи четырехполюсника от частоты при воздействии на входе гармонического напряжения (тока). Если входное напряжение линейного четырехполюсника гармоническое:

,

то выходное напряжение также является гармоническим с той же частотой и другими значениями амплитуды и фазы :

.

Тогда АЧХ и ФЧХ, как зависимости от частоты, определяются соотношениями

. (8.7)

Экспериментально АЧХ четырехполюсника измеряется путем изменения частоты входного гармонического напряжения при постоянной амплитуде входного напряжения . При этом нормированная зависимость выходного напряжения от частоты будет являться АЧХ четырехполюсника.

Существует понятие идеального четырехполюсника, АЧХ которого постоянная, а ФЧХ является линейной функцией (рис. 8.5).

При передаче через идеальные четырехполюсники напряжений (токов) их форма не изменяется, а происходит лишь сдвиг во времени на величину . Реальные четырехполюсники содержат один или несколько реактивных элементов и их АЧХ и ФЧХ отличаются от идеальных. В этом случае форма выходной реакции четырехполюсника не будет совпадать с формой входного воздействия. Для расчета выходной реакции u₂(t) четырехполюсника с заданным комплексным коэффициентом передачи по известному входному воздействию u₁(t) можно использовать спектральный метод, основанный на свойствах преобразования Фурье.

Известно, что для непериодических функций с помощью прямого преобразования Фурье можно определить спектральную функцию вида

. (8.8)

Спектральная функция выходной реакции при прохождении воздействия u₁(t) через линейный четырехполюсник с комплексным коэффициентом передачи находится как произведение:

. (8.9)

Выходная реакция четырехполюсника находится с помощью обратного преобразования Фурье

. (8.10)

АЧХ и ФЧХ определяют свойства линейных четырехполюсников в частной области. Те же свойства во временной области описываются с помощью импульсных и переходных характеристик.

Импульсной характеристикой называют реакцию линейной цепи на воздействие типа дельта-функции . Дельта-функция (рис. 8.6) – это идеализированное воздействие, которое можно получить из прямоугольного импульса, если устремить длительность импульса . При этом амплитуда импульса стремится к ¥, а площадь .

Математически показано, что спектральная функция дельта-функции . Тогда в соответствии с (8.10) импульсная характеристика определится как

. (8.11)

Переходной характеристикой линейных четырехполюсников называется реакция на одиночное воздействие (на скачок напряжения, рис. 8.7).

Единичное воздействие записывается через единичную функцию

.

Спектральная плотность единичного воздействия . Тогда в соответствии с (8.9) спектральная функция переходной характеристики равна . Используя обратное преобразование Фурье (8.10), для переходной характеристики получим

. (8.12)

Дата добавления: 2014-12-26