Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью операционного исчисления

Метод решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами п-го порядка состоит в том, что, используя свойства линейности преобразования Лапласа, теорему единственности и теорему дифференцирования оригинала, от дифференциального уравнения переходим к алгебраическому уравнению относительно соответствующих изображений, которое называется операторным (операционным). Находя решение операторного уравнения, а затем его оригинал, тем самым находим решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения п-го порядка.

При решении дифференциальных уравнений иногда удобно применять формулу Дюамеля

Пусть требуется решить обыкновенное дифференциальное уравнение п -го порядка с постоянными коэффициентами.

,

при нулевых начальных условиях

,

где f (t) – оригинал.

(Заметим, что простой заменой искомой функции задачу с ненулевыми начальными условиями можно свести к задаче с нулевыми условиями.)

Рассмотрим вспомогательное линейное дифференциальное уравнение

при тех же нулевых начальных условиях.

Предположим, что известно решение этого дифференциального уравнения – , которое является оригиналом. Допустим, что искомое решение уравнения (1) – также является оригиналом.

Для изображения введенных нами оригиналов используем обозначения:

, , .

Применяя к левой и правой частям уравнений D(y)=f(t) и D(y)=1 преобразование Лапласа с учетом нулевых начальных условий, придем к операторным уравнениям

,

.

Разделив первое из этих уравнений на второе, получим соотношение

.

Применив интеграл Дюамеля и используя свойства свертки, получим искомое решение y (t) в виде

или в виде

.

Дата добавления: 2014-12-26