Если и - бесконечно малые при , то произведение - тоже бесконечно малая при

Аналогично, тогда и только тогда, когда, где - бесконечно малая при функция.

Теорема 8.2.Предел последовательности существует и равен А тогда и только тогда, когда можно представить в виде, где - бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Доказательство проведем для случая функций. Для последовательностей оно вполне аналогично. Итак, обозначим . Условие равносильно тому, что , что равносильно условию , что, в свою очередь, означает, что - бесконечно малая при .

Определение 8.5 Функция называется ограниченной при , если она ограничена в некоторой , т.е. если : .

Теорема 8.3 (Свойства бесконечно малых)

1. Если и - бесконечно малые при , то алгебраическая сумма - тоже бесконечно малая при ;

2. Если - бесконечно малая и - ограниченная при , то произведение есть бесконечно малая при ;

Бесконечно малые последовательности обладают вполне аналогичными свойствами:

1. Если и - бесконечно малые последовательности, то алгебраическая сумма - тоже бесконечно малая последовательность;

2. Если - бесконечно малая последовательность, а - ограниченная последовательность (т.е. : ), то - бесконечно малая последовательность;

Дата добавления: 2015-04-24