Аналогично теорема верна и для последовательностей. Если , то , то , а если , то и

Пусть две функции и, имеют пределы и, соответственно, при. Тогда предел суммы, разности, произведения, и, если, частного этих функций равны соответственно сумме, разности, произведению и частному значения этих пределов, т.е., если, то.

Если и - бесконечно малые последовательности, то произведение - бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Доказательство проводим для случая бесконечно малых функций.

Зафиксируем произвольное и рассмотрим . Тогда, по определению предела,

Обозначив , получаем:

.

По свойству модулей: , обозначив получаем: . Таким образом, , т.е. - бесконечно малая.

2. - ограничена при , т.е. , : .

Зафиксируем произвольное и рассмотрим . Тогда .

Обозначив за получаем: . Значит, , т.е. - бесконечно малая при .

3. Докажем сначала лемму.

Лемма8.1. Если - бесконечно малая при , то она ограничена при . (наоборот - неверно!).

Доказательство: возьмем и получим, что . Таким образом, при ограничена. Лемма доказана.

Вернёмся к теореме. По доказанной лемме - ограничена при . Осталось применить свойство 2) бесконечно малых, доказанное выше.

Теорема 8.4 (Арифметические свойства предела)

Доказательство. По теореме 8.2 из условия следует, что

, где - бесконечно малые при

.

Тогда . По теореме 8.3 алгебраическая сумма бесконечно малых - бесконечно малая, т.е. , снова по теореме 8.2.

Перейдем к произведению

. Последние слагаемые - бесконечно малая величина при . По свойствам 2 и 3 бесконечно малых, - бесконечно малые при . По свойству 1 их сумма – бесконечно малая при . По теореме 8.2, .

Перейдем к пределу частного и докажем сначала лемму:

Дата добавления: 2015-04-24