Если не убывает на и ограничена сверху на , то существует

Если последовательность не возрастает и ограничена снизу, то существует.

Если последовательность не убывает и ограничена сверху, то существует.

Доказательство. Проведем доказательство первого случая. Второй случай совершенно аналогичен. По условию, множество значений, которые принимает последовательность , ограничено сверху. По теореме 5.1 существует его точная верхняя грань A. Докажем, что . Для этого возьмем произвольное . По определению А, любое меньшее число, в частности число , уже не является верхней гранью множества значений, принимаемых последовательностью . Значит, при некотором , или . Кроме того, , т.к. А – верхняя грань множества значений .

Итак, . Но при , поэтому . Таким образом, для любого существует N такое, что для всех выполняется неравенство . Поэтому .

Теорема 10.2 (К. Вейерштрасс)

Дата добавления: 2015-04-24