Доказательство. Теорема 9.4. Функция имеет при предел, равный а, тогда и только тогда, когда он имеет пределы при стремлении х к а справа и слева

Теорема 9.4. Функция имеет при предел, равный а, тогда и только тогда, когда он имеет пределы при стремлении х к а справа и слева, причем оба эти пределы равна А.

Если , то . Поскольку из неравенств и следует неравенство , и .

Обратно, тогда и только тогда, когда , ; тогда и только тогда, когда , .

Положим . Тогда если , то

либо , либо

И в том, и в другом случае , т.е. .

Замечание. Разумеется, для пределов справа и слева верны все теоремы об арифметических свойствах предела и о предельном переходе в неравенствах.

Теорема 9.5 (первый замечательный предел)

.

Замечание. При доказательстве этой теоремы нельзя применять правило Лопиталя, т.к. хотя это и даст верный результат, но будет являться логической ошибкой, потому, что при вычислении производной функции sinx используется, что

Дата добавления: 2015-04-24