Замечание: строгое неравенство между функциями может не сохраниться для пределов

Теорема 9.2.Если для двух функций и, имеющих пределы, соответственно, и, в некоторой проколотой окрестности выполняется неравенство, то.

Доказательство. Обозначим . При этом . По теореме 9.1 имеем , т.е. . Теорема доказана.

Замечание: Эти две теоремы означают, что при переходе к пределу сохраняется нестрогое неравенство.

Например, для функций , в любой выполняется неравенство , т.е. . Однако,

Теорема 9.3 (Теорема о “зажатой” переменной). Если выполняется неравенство , и если , то

Доказательство. Для доказательства данной теоремы докажем лемму:

Лемма 9.1. Если выполняется неравенство , и если , то и .

Доказательство. Требуется доказать, что: . Имеется:

Выберем таким, что , а также удовлетворяющим неравенству , из которого следует, что .Тогда , что означает, что . Лемма доказана.

Перейдем к доказательству теоремы и обозначим . При этом удовлетворяют условиям леммы.

Далее, и, по лемме, . Наконец,

при (т.к. , при ).

Таким образом, теорема доказана.

Определение 9.1. Если , то говорят, что существует предел функции при стремлении х к а справа и обозначают это так: . Аналогично, если , то говорят, что существует предел функции при стремлении х к а слева и обозначают это так: .

Дата добавления: 2015-04-24