Теорема 9.1. Если функция имеет предел при , равный А и в некоторой проколотой окрестности точки a принимает неотрицательные значения, то

Лемма 8.3.Если, то.

Лемма 8.2. Если, то выполняется неравенство.

Доказательство. Выберем . Тогда . Лемма доказана.

Теперь докажем следующее утверждение:

Доказательство. Имеет место равенство

. По лемме 8.2 в выполняется не равенство , следовательно, . Значит, функция ограничена при , и - бесконечно малая при . Таким образом, бесконечно малая, т.е. . Лемма доказана.

Для доказательства равенства применим лемму8.3 и часть теоремы 8.4 о пределе произведения функций..

Вопрос 9.ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В НЕРАВЕНСТВАХ. ВЫЧИСЛЕНИЕ

Доказательство. Будем доказывать методом от противного.

Допустим, что A<0. Возьмем . Тогда

, откуда

Получаем, что для любого из пересечения проколотых окрестностей и одновременно выполняются неравенства и . Тем самым мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Дата добавления: 2015-04-24