Пример 2.6

Пример 2.5

Пусть известно, что период T колебаний маятника не зависит от его начального отклонения и скорости, а определяется лишь его длиной l, массой m и ускорением свободного падения g. Функциональная связь

T = f (l, m, g)

содержит четыре размерных величины. Допустим, что определяющие параметры l, m и g имеют независимые размерности.

[ l ] = L, [ m ] = M, [ g ] = LT ^-2.

Тогда параметр T следует принять размерно-зависимым.

[ T ] = T.

Анализируя размерности, находим критерий подобия

Здесь, k = n = 3. Следовательно, выражение f (l, m, g) = const и

С точностью до безразмерного множителя данная формула дает решение колебаний маятника. Причем выясняется, что их период не зависит от m. Таким образом, анализ размерностей дает возможность получить ценную предварительную информацию о процессе, не находя полностью решения задачи.

При атомном взрыве в его центре мгновенно выделяется значительная энергия E. От центра взрыва распространяется мощная ударная волна. Радиус фронта ударной волны r через промежуток времени τ после взрыва зависит от E, τ и плотности воздуха ρ [11].

r = f (E,τ,ρ).

Таким образом, n = 3, а размерности определяющих параметров в классе MLT есть:

В данном случае k = n = 3, так что функция f (E,τ,ρ) = const. Критерий подобия

и

Эта формула показывает, что если измерить тем или иным способом радиус ударной волны в разные моменты времени, то в логарифмических координатах (5/2)lg(r), lg(τ) экспериментальные точки должны располагаться на прямой

имеющей наклон, равный единице. Более детальный анализ показывает, что эта const =1. В 1950 г. английский физик Джеффри Ингрем Тейлор обработал

кинофильм о распространении огненного шара, снятый во время американских испытаний ядерного взрыва в Нью-Мехико в 1945 г., и определил, что энергия взрыва равнялась примерно 10¹⁷Дж.

Публикация Тейлором этой величины вызвала в свое время смущение в американских официальных кругах. В различных уравнениях математической физики (задачах гидродинамики, переноса тепла, диффузии, химической кинетики) появляются своеобразные частные решения, которые при изменении времени преобразуются одно из другого по правилу подобия. Такие решения называются автомодельными. Наиболее важное свойство автомодельного решения состоит в том, что зависимость от аргументов входит через единственный комплекс. Благодаря этому уравнение в частных производных можно привести к обыкновенному дифференциальному уравнению. Его интегрирование существенно проще, чем нахождение решения начально-граничной задачи. В сложных нелинейных задачах получение автомодельного решения зачастую остается единственно возможным средством найти аналитическую зависимость и понять качественные особенности явления. Более подробные сведения об автомодельных решениях можно найти в литературе [2], [9].

назад

Дата добавления: 2015-04-24