Решение. Определение коэффициентов уравнения по зависимости между корнями

Определение коэффициентов уравнения по зависимости между корнями

Пример 9. В уравнении найти m, если где и - корни уравнения.

Уравнение имеет корни, если отсюда находим:

Преобразуем уравнение к приведенному:

По теореме Виета: и, по условию:

Получим систему уравнений:

решая первые два уравнения находим: Подставляя эти значения в третье уравнение, определим m: m = 15. Теперь надо установить, удовлетворяет ли это значение m первоначальному условию, когда уравнение вообще имеет корни, т. е. условию:

Убеждаемся, что удовлетворяет, в самом деле:

Ответ: m = 15.

Пример 10. Найти условие, при котором разность корней уравнения равна m:

Решение

Заведомо надо учесть, что для существования корней уравнения дискриминант должен быть неотрицателен, т. е. должно выполняться неравенство:

Пусть и - корни уравнения, тогда, по условию:

С другой стороны, по теореме Виета:

Получим систему, состоящую из трех уравнений:

Из первых двух уравнений выразим и через m и p:

Подставим эти значения в третье уравнение и найдем:

Поскольку при тогда неравенство выполняется.

Ответ:

Пример 11. Найти условие, при котором разность квадратов корней уравнения равна

Решение

Мы допускаем, что уравнение имеет корни, а значит

Пусть и - корни заданного уравнения, тогда, по условию:

Преобразуем уравнение к приведенному, полагая, что:

Отсюда, по теореме Виета,

Получим систему трех уравнений:

Чтобы выполнялось первое равенство, потребуем, чтобы.

Из первых двух уравнений находим:

Подставляя в третье уравнение, получим:

Ответ:

Пример 12. При каком значении k один корень уравнения вдвое меньше другого:

Решение

1. Первый коэффициент уравнения не должен равняться нулю, иначе уравнение "вырождается" в линейное и задача теряет смысл, значит,

2. Чтобы уравнение имело два различных корня, его дискриминант должен быть положительным:

3. Допустим, что это условие выполняется, т. е. D > 0 и уравнение имеет два различных действительных корня. Обозначим их и.

Тогда, по условию:

Преобразуем уравнение к приведенному, получим:

По теореме Виета

Получим систему уравнений

Решим два первых уравнения и выразим из них и.

Подставим значения и в третье уравнение, получим:

Ясно, что при этом значении k первый коэффициент данного уравнения не равен нулю.

Выясним, будет ли при этом значении k положителен дискриминант. Для этого подставим значение k в формулу дискриминанта и установим знак результата:

Ответ: при

Пример 13. Дано уравнение корни которого и. Составить новое квадратное уравнение, корни которого были бы и

Решение

Так как данное уравнение имеет корни, тогда его первый коэффициент отличен от нуля, а дискриминант неотрицателен:

Так как и корни заданного уравнения, тогда, по теореме Виета, их сумма и произведение равны:

Чтобы составить новое квадратное уравнение, надо воспользоваться теоремой, обратной теореме Виета, а для этого необходимо найти сумму и произведение корней нового квадратного уравнения и полученные формулы выразить через сумму и произведение корней данного уравнения.

Пусть корни искомого уравнения и тогда искомым уравнением будет:

По условию:, а

Выразим сумму и произведение чисел и через сумму и произведение и.

Подставляя значения вместо суммы и произведения и в полученные равенства, находим для корней искомого уравнения:

Теперь можно составить искомое уравнение:

Ответ:

Задание 2

1. Пусть и - корни уравнения Не решая уравнение, найдите: а) б) в)

2. При каком действительном значении a сумма квадратов корней уравнения будет наименьшей?

3. Какому условию удовлетворяют коэффициенты уравнения если где и - корни уравнения?

Дата добавления: 2015-04-24