Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Установление зависимости между корнями двух уравнений. Еще один способ решения квадратного уравнения




 

Пример 14. Какая зависимость существует между корнями двух уравнений, где a, b, c, p, q не равны 0: и

 

Решение

 

Во-первых, корни уравнений должны существовать (первые коэффициенты не равно нулю по условию), значит, для первого уравнения: для второго уравнения: или откуда получаем такое же соотношение, как и для первого уравнения:

Пусть и - корни первого уравнения, а и - корни второго уравнения. По теореме Виета, для первого уравнения, находим:

Для второго уравнения, по теореме Виета, имеем:

Подставим в последние два равенства вместо

В результате такой подстановки получаем:

 

Ответ:

 

Пример 15. Найдите корни уравнения если

 

Решение

1. Если a = 0, тогда уравнение примет вид:, а условие станет таким: Из условия находим: уравнение примет вид

a) Если b = 0, тогда получим - это уравнение имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число.

б) Если тогда

2. Если тогда найдем дискриминант

Из соотношения выразим b и подставим в выражение для дискриминанта:

a) При a = c имеет один корень:

b) При уравнение имеет два различных корня:

 

 

Ответ:

 

1. a) Если a = 0 и b = 0, тогда уравнение имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число.

б) Если a = 0, но тогда x = 1.

2. а) Если и, тогда уравнение имеет один корень:

б) Если и тогда уравнение имеет два различных действительных корня:

 

Пример 16. Найти рациональный способ решения следующих уравнений:

1) 2)

 

Решение

 

1)

Находим дискриминант: Он будет неотрицательным при любом действительном значении b.

Рассмотрим два случая.

1. В этом случае уравнение имеет единственный корень

2, Если тогда и уравнение имеет два различных действительных корня, которые легко найти по теореме Виета. Их сумма должна быть равна, а произведение равно Только два числа дают в сумме, а в произведении - это и 1. Значит,

 

Ответ: 1. Если, тогда уравнение имеет единственный корень

2. Если тогда уравнение имеет два различных корня:

 

2)

 

Решение

 

1. Если Это возможно в двух случаях, при и

Если b = 0, тогда уравнение примет вид которое при a = 0 имеет бесконечное множество решений, а при - единственное решение: x = 1.

Если a = b = 0, то этот случай уже рассмотрен - уравнение имеет бесконечное множество решений, x - любое действительное число.

2. Если, тогда будем решать уравнение, как квадратное относительно x. Для этого преобразуем его к приведенному, для чего разделим обе части уравнения на

Получим уравнение

Пусть и - корни уравнения, тогда, по теореме Виета, сумма корней равна:

 

а их произведение равно

 

Теперь становится понятным, что корнями уравнения могут быть только числа:

В самом деле, произведение корней дает:

Покажем, что их сумма равна второму коэффициенту с противоположным знаком:

 

 

Ответ:

 

1. Если a = b = 0, тогда уравнение имеет бесконечное множество решений.

2. Если b = 0, но тогда уравнение имеет единственное решение x = 1.

3. Если и тогда уравнение имеет два корня

 

 

Задание 3

 

1. Какая взаимозависимость существует между корнями двух квадратных уравнений, где a, b, c, p, q не равны нулю:

а) и

б) и

2. Найти рациональный способ решения следующих уравнений:

а) б) в)

г)

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-04-24; Просмотров: 1047; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.