Аналитическое решение. Рассмотрим трехчлен, находящийся под знаком модуля, и установим, при каких значениях x он будет принимать неотрицательные и отрицательные значения

Графическое решение

Й способ

Рассмотрим трехчлен, находящийся под знаком модуля, и установим, при каких значениях x он будет принимать неотрицательные и отрицательные значения.

Итак, на промежутке трехчлен а на промежутках трехчлен отрицателен

Получим совокупность двух систем:

(1) и (2)

Решим каждую систему:

(1)

(2)

Объединяя решения 1-й и 2-й систем, получаем:.

Ответ:.

Построим графики функций и Абсциссы их точек пересечения дадут решения уравнения.

Чтобы построить график функции, достаточно построить график функции а затем симметрично "зеркально" отразить в оси OX часть параболы, лежащую ниже оси OX.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз.

Координаты ее вершины:

Точки пересечения с осью OX: (2; 0) и (3; 0).

Точки пересечения с осью OY: (0; 6).

Аналогично построим параболу (см. рис. 40).

Рис. 40

Графики полностью совпадают на промежутках и Эти промежутки и будут являться решениями уравнения.

Ответ:.

Пример 23. Решить аналитически и графически уравнение

Решение

Преобразуем уравнение, умножив обе его части на 2, будучи положительным числом, его можно вносить под знак модуля, поэтому получим:

У каждого из трехчленов положительные дискриминанты. Это дает возможность разложить каждый из них на линейные множители.

Уравнение примет вид:

На числовой прямой (см. рис. 41) отложим точки, в которых каждый из множителей обращается в нуль. В результате получим пять промежутков, на каждом из которых определим знаки трехчленов под модулем и решим полученные уравнения.

Рис. 41

Однако такой способ не будет рациональным. Целесообразнее изобразить промежутки знакопостоянства каждого из трехчленов на числовых осях. Тогда определение их знаков будет упрощено и сделается более наглядным (см. рис. 42).

Рис. 42

При таком схематическом изображении понятно, что:

1) при оба трехчлена положительны и уравнение примет вид:

Решая его, находим Оба корня не входят в промежуток и являются посторонними;

2) при первый трехчлен отрицателен, а второй положителен, получим уравнение: откуда находим корень который входит в промежуток и является решением уравнения;

3) при оба трехчлена отрицательны, получаем:

откуда который входит в промежуток и является решением уравнения;

4) при первый трехчлен положителен, второй - отрицателен, получаем уравнение:

отсюда, который входит в промежуток и является решением уравнения;

5) при оба трехчлена положительны, получается такая же ситуация, как и в первом случае. И здесь, оба корня не входят в промежуток и являются посторонними.

Ответ:

Дата добавления: 2015-04-24