Возвратные уравнения

Схема Горнера

Пусть дан многочлен , который надо разделить на двучлен x - x₀.

Для этого, коэффициенты данного многочлена запишем в верхней строке таблицы.

		...
		...
		...			остаток

Во второй строке записывается произведение на предыдущие коэффициенты частного.

В третьей строке записываются коэффициенты частного и остаток.

Как получаются коэффициенты частного?

Обозначим коэффициенты частного: .

Нижние индексы у коэффициентов частного на единицу меньше, чем у делимого. И это понятно, потому что в частном получится многочлен степени на 1 меньшей, чем у делимого. Так, если у делимого наивысшая степень была 5 и был член, содержащий , то в частном будет самая высокая степень 4 и старший коэффициент частного: .

Посмотрим, как это делается на примерах.

Пример 1. Найти частное и остаток от деления многочлена

на x - 3.

Решение

В верхней строке таблицы записываются коэффициенты данного многочлена в порядке убывания их индексов, а в правом уголке (можно в левом, дело вкуса) записывается число 3. Надо заметить, что члена, содержащего нет, значит, коэффициент при этом члене равен нулю - этот ноль записывается в таблицу. Об этом следует помнить.

		-13		-11	-6
	0 + = 6	-13 + = 5	5 + = 20	-11 + = 49	-6+ =141

Получаем частное ; остаток или значение многочлена в точке x = 3 равно P(3) = 141.

Ответ: частное ; остаток или значение многочлена в точке x = 3 равно P(3) = 141.

Пример 2. Найти частное и остаток при делении на x + 2.

Решение

			-3			- 2
	0 = -2	0 = 4	-3 = -11	7 = 29	2 - 58 = -56

Ответ: частное: ; остаток: -56 (значение многочлена в точке -2).

Пример 3. Найти частное и остаток при делении на .

Решение

		-2	-13
	7 + = 9	-2 + = 7	-13 + 7 = -6	6 - 6 = 0

Ответ: частное: ; остаток равен нулю, значит данный многочлен делится без остатка на x - 1.

Задание

1. Найти частное и остаток при делении многочленов на двучлен, применяя схему Горнера:

а) на x + 4; б) на x – 1

Определение. Уравнения вида

, где (1)

называются возвратными или симметричными.

Отличительной особенностью таких уравнений является равенство коэффициентов, равноотстоящих от его начала и конца.

Свойство 1. Возвратное уравнение не может иметь число 0 своим корнем. В самом деле, если допустить, что x = 0 - корень уравнения, тогда, при подстановке в уравнение, получим ложное равенство a = 0 (по определению ).

Свойство 2. Если возвратное уравнение имеет своим корнем число a, то оно имеет и корень, равный .

Доказательство

В самом деле, пусть x = a - корень возвратного уравнения

, причём ,

тогда, . (2)

Подставим в левую часть данного уравнение значение , получим:

или

,

но из равенства (2) следует, что , причем , следовательно, , а это и означает, что - корень данного возвратного уравнения (1).

При решении возвратных уравнений часто применяется подстановка

.

Пример 1. Решить уравнение на множестве действительных чисел

.

Решение

Это уравнение возвратное четной степени. Делим обе части уравнения на , тем более, что (следствие 1), получим уравнение:

, ,

.

Пусть , тогда, возводя обе части этого равенства в квадрат, получим: .

Подставляя новые переменные в уравнение, имеем:

.

Значение не удовлетворяет условию т является посторонним корнем. Остается одно значение: .

Делая обратную подстановку, получим .

Отсюда находим , .

Ответ: , .

Дата добавления: 2015-04-24