Уравнения, приводящиеся к возвратным

Возвратные уравнения нечетной степени

Пример 3. Решить возвратное уравнение нечетной степени

.

Решение

Такое уравнение (возвратное нечетной степени) всегда имеет корень (попробуйте самостоятельно доказать это в общем виде) следовательно, по теореме Безу, его левая часть делится на x + 1.

Выполним это деление по схеме Горнера:

		-5	-13	-13	-5			-1
	2 = 1	-5 = -6	-13 + 6 = -7	-13 + 7 = -6	-5 + 6 = 1	2 - 1 = 1	1 - 1 =0

В частном получим многочлен: .

Уравнение примет вид: .

Осталось решить возвратное уравнение четной степени:

.

Делим обе части на : .

Снова полагаем , нам уже известно, что тогда получим:

.

Выразим через y. Для этого возведём обе части равенства в куб, получим:

.

Выполним подстановку и придём к уравнению .

Решим его, раскладывая левую часть на множители:

.

Получаем три уравнения .

Первое уравнение не имеет действительных корней,

.

Ответ: , .

Пример 4. Решите уравнение .

Решение

Это уравнение не является возвратным, но его можно легко привести к возвратному простой подстановкой, заменив x на 2u. Подставляя в уравнение x = 2u, получаем:

.

Полученное уравнение уже является возвратным, но его можно упростить, разделив обе части уравнения на 4, .

Делим обе части уравнения на , а затем, делая подстановку , находим: .

.

Ответ: .

Пример 5. Решите уравнение, преобразуя его в возвратное

.

Решение

Чтобы свести уравнение к возвратному, необходимо сделать такую подстановку x = ku, где k - неопределенный коэффициент (), который предстоит найти.

Коэффициенты членов, равноотстоящих от концов многочлена должны быть равны. Коэффициент при первом члене: .

Коэффициент при этом члене должен быть равен по модулю 18, т. е. , .

Теперь сделаем подстановку при .

Уравнение примет вид: ,

.

Положим , тогда . После подстановки в уравнение получим .

Подставляя вместо z значения, получим два квадратных уравнения

Если , тогда, при подстановке получим возвратное уравнение, которое решается теми же методами:

.

Ответ: .

Задание 2

Решите уравнения.

1. . 2. .

3. . 4. .

Дата добавления: 2015-04-24