Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 1 страница

Типовой расчет № 1

Ответы

Аудиторная работа

Выпуклость и вогнутость графиков функций. Асимптоты. Построение графиков функций

Занятие 18

Ответы

17.6. а) На – убывает; на – возрастает; .

17.6. б) Возрастает на всей области определения.

17.7. .

17.8. а) 1 и 3/5. 17.8. б) и . 17.9. .

18.1. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графиков функций:

а) . б) .

в) . г) .

18.2. Найти асимптоты графиков функций:

а) . б) .

в) . г) .

18.3. Провести полное исследование и построить графики функций:

а) . б) .

в) . г) .

д) .

Домашнее задание

18.4. Найти точки перегиба графиков функций:

а) . б) .

18.5. Найти асимптоты графика функции .

18.6. Исследовать функции и построить их графики:

а) . б) .

18.4. а) . б) Точек перегиба нет.

18.5. .

Задача 1

Исследовать систему уравнений и в случае совместности решить ее.

1.1. а) б)

1.2. а) б)

1.3. а) б)

1.4. а) б)

1.5. а) б)

1.6. а) б)

1.7. а) б)

1.8. а) б)

1.9. а) б)

1.10. а) б)

1.11. а) б)

1.12. а) б)

1.13. а) б)

1.14. а) б)

1.15. а) б)

1.16. а) б)

1.17. а) б)

1.18. а) б)

1.19. а) б)

1.20. а) б)

1.21. а) б)

1.22. а) б)

1.23. а) б)

1.24. а) б)

1.25. а) б)

Задача 2

2.1. Вычислить , где – единичные векторы, угол между которыми равен .

2.2. Найти проекцию вектора на направление вектора .

2.3. Найти , , если .

2.4. Вектор , коллинеарный вектору , образует острый угол с осью Oz. Найти координаты вектора , если .

2.5. Найти , если , .

2.6. Найти , , если – ортогональный базис и .

2.7. Найти длину вектора , если .

2.8. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

2.9. Найти , если .

2.10. Вычислить синус угла между диагоналями параллелограмма, сторонами которого служат векторы .

2.11. Найти вектор , удовлетворяющий условиям , если , , .

2.12. Даны векторы . Найти проекцию вектора на направление вектора .

2.13. Вектор , коллинеарный вектору , образует острый угол с осью Oz. Найти координаты вектора , если .

2.14. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и , если .

2.15. Найти , если .

2.16. Какой угол образуют векторы и , если и ортогональны, ?

2.17. Вычислить , если , .

2.18. Даны точки А (–5, 7, –6) и B (7, –9, 9). Найти проекцию вектора на направление вектора .

2.19. Найти координаты вектора , если .

2.20. Найти вектор , ортогональный вектору , имеющий с ним одинаковую длину и лежащий в плоскости Oyz.

2.21. Найти угол между векторами , если .

2.22. Найти проекцию вектора на направление вектора .

2.23. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и ортогональны?

2.24. Доказать, что скалярное произведение двух векторов не изменится, если к одному из них прибавить вектор, ортогональный другому сомножителю.

2.25. При каких значениях a и b векторы и коллинеарны?

Задача 3

3.1. Найти , где .

3.2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах , если .

3.3. Вектор перпендикулярен векторам и , угол между и равен . Зная, что , вычислить .

3.4. Найти , где .

3.5. Найти вектор , если известно, что он ортогонален векторам и .

3.6. Найти координаты вектора , если он ортогонален векторам и =1.

3.7. Найти единичный вектор , компланарный векторам и и ортогональный вектору .

3.8. Вычислить площадь параллелограмма, сторонами которого являются векторы и , если .

3.9. Вычислить синус угла между диагоналями параллелограмма, сторонами которого служат векторы .

3.10. Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах , если за основание взят параллелограмм, построенный на векторах и .

3.11. Вектор , перпендикулярный векторам и , образует с осью Oy тупой угол. Найти координаты вектора , если

3.12. Вычислить площадь параллелограмма, сторонами которого являются векторы , если .

3.13. Вершины треугольной пирамиды находятся в точках , , , . Найти длину высоты, проведенной из вершины А.

3.14. Проверить, лежат ли точки , , , в одной плоскости.

3.15. Проверить, компланарны ли векторы , , .

3.16. Дана треугольная пирамида с вершинами , , , . Найти длину высоты пирамиды, проведенной на грань BCD.

3.17. Найти площадь параллелограмма, сторонами которого являются векторы и .

3.18. Найти , если .

3.19. Найти , если векторы образуют правую тройку и взаимно перпендикулярны,

3.20. Показать, что точки A (3, 1, –1), B (5, 7, –2), C (1, 5, 0) и
D (9, 4, –4) лежат в одной плоскости.

3.21. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах .

3.22. Найти единичный вектор, ортогональный векторам и .

3.23. Вершинами треугольной пирамиды являются точки A (-5, 4, 8), B (2, 3, 1), C (4, 1, –2) и D (6, 3, 7). Найти длину высоты, проведенной на грань BCD.

3.24. Вычислить синус угла между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах .

3.25. Проверить, лежат ли точки A (–1, 2, 3), B (0, 4, –1), C (2, 3, 1) и D (–2, 1, 0) в одной плоскости.

Задача 4

4.1. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой .

4.2. Найти угол между прямой и прямой, проходящей через точки .

4.3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

4.4. Дан треугольник с вершинами в точках , и . Написать уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно противоположной стороне.

4.5. При каком значении параметра α прямые и взаимно перпендикулярны?

4.6. Даны вершины треугольника , и . Определить длину медианы, проведенной из вершины С.

4.7. При каких значениях α прямые и :

а) параллельны; б) имеют одну общую точку?

4.8. Написать уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору , если , .

4.9. Дан треугольник с вершинами в точках , и . Составить уравнение медианы, проведенной из вершины .

4.10. Найти уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой, соединяющей точки и .

4.11. На прямой найти точку, равноудаленную от двух данных точек и .

4.12. Написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

4.13. Найти расстояние между прямыми и .

4.14. Найти уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору , если , .

4.15. Привести к каноническому виду уравнения прямой

Дата добавления: 2015-03-29