Исследование устойчивости замкнутой системы

Для структурной схемы рисунка 2.2 запишем передаточные функции разомкнутой системы в форме z-изображения и u-изображения.

Для получения z-изображения передаточной функции разомкнутой системы достаточно перемножить (3.2) и (3.3)

. (4.1)

Для получения u-изображения разомкнутой системы достаточно перемножить (3.4) и (3.5)

. (4.2)

Воспользуемся алгебраическим критерием Гурвица для анализа устойчивости замкнутой системы, для чего по u-изображению (4.2) составим характеристическое уравнение замкнутой системы

Выпишем числитель характеристического уравнения

.

Необходимый критерий устойчивости соблюдается, так как коэффициенты полиномиального уравнения строго положительные, тогда критерий Гурвица для системы 3-го порядка запишется

Так как последнее неравенство верно, то замкнутая система устойчива.

Воспользуемся дискретным вариантом критерия Михайлова, для чего запишем характеристический полином замкнутой системы через передаточную функцию (4.1) и сделаем подстановку [2].

На рисунке 4.1 показан годограф Михайлова в двух масштабах.

Рисунок 4.1 Годограф Михайлова на z-плоскости в разных масштабах

Для устойчивости системы [2, стр. 53] необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при возрастании w от 0 до p/T₀ обходил последовательно в положительном направлении 2n квадрантов комплексной плоскости.

Так как наша система имеет 3-ий порядок, то годограф должен пройти последовательно 6 квадрантов. Нетрудно заметить, что годограф Михайлова на рисунке 4.1 действительно проходит 6 квадрантов не пересекая начала координат, что говорит об устойчивости замкнутой системы.

Дата добавления: 2015-04-29