Постоянное включение резерва

Расчет надежности невосстанавливаемых систем при общем резервировании

Рис. 2.2.1.1. Структурная схема системы при общем резервировании

Как видно из рис. 2.2.1.1 система с основным (последовательным) включением элементов n элементов (э10,э20,...эn0) резервируются m аналогичными системами (m – кратность резервирования). В случае отказа любого элемента системы (основной цепи) система заменяется резервной. Вероятности безотказной работы элементов систем Pij (t) известны.

Требуется определить вероятность безотказной работы системы при общем резервировании

POP (t) и среднее время безотказной работы TOP.

Определение выражения для оценки вероятности безотказной работы рассматриваемой системы проведем в два этапа:

1. Вероятность того, что все элементы j-ой цепочки находятся в работоспособном состоянии, равна

(2.2.1.1)

2. Вероятность того, что хотя бы один элемент j-ой цепочки не работает равна

(2.2.1.2)

3. Вероятность события, что хотя бы один элемент из m цепочек не работает, равна

(2.2.1.3)

4. Вероятность события, что хотя бы одна цепочка работает(вероятность безотказной работы системы), равна

(2.2.1.4)

Аналогичным образом найдем выражение для определения вероятности безотказной работы системы при экспоненциальном законе распределения отказов элементов:

, где (2.2.1.5)

(2.2.1.6)

(2.2.1.7)

(2.2.1.8)

Среднее время безотказной работы системы определим для экспоненциального закона распределения отказов элементов:

(2.2.1.9)

В результате интегрирования этого выражения путем использования подстановки определяем окончательное выражение:

(2.2.1.10)

или

, (2.2.1.11)

где T₀ – среднее время безотказной работы нерезервируемой системы.

Из анализа полученных выражений следует, что с увеличением кратности резервирования (m>1) время безотказной работы растет все медленней. Поэтому общее резервирование целесообразно при небольшой кратности резервирования (m=1;2).

2.2.2 Включение резерва замещения

При резервировании замещением резервные элементы подключаются на место основного после его отказа и принимают на себя его функции.

Аналитические методы исследования характеристик надежности при этом довольно громоздки. Поэтому на практике обычно ограничиваются рассмотрением случая, когда наработка до первого отказа элемента в системе подчиняется экспоненциальному закону распределения, однако, учитывается, что в общем случае интенсивности отказов для основной (λ ₀) и резервных (λ ₁) элементов различны (λ ₀ ≥ λ ₁).

Граф состояний и возможных переходов системы, состоящей из основной цепи при m – кратном резервировании, представлен на рис 2.2.2.1, где состояние S ₀ - основная и все резервные цепи

работоспособны, состояние S ₁ - отказ одной резервной цепи, состояние S ₂ - отказ двух резервных

цепей, …, состояние S_m - отказ основной и всех резервных цепей.

Рисунок 2.2.2.1. Граф состояний и возможных переходов системы при включении резерва с замещением

Обычно предполагается, что случайные процессы в системе являются Марковскими, т.е. у которых для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в исходный момент времени и не зависит, от того каким путём она пришла в это состояние. Тогда информация о вероятностях перехода системы в разные состояния позволяет определить вероятность каждого из возможных состояний системы.

Для определения каждого из возможных состояний системы используется система дифференциальных уравнений Колмогорова. Для пояснения природы возникновения этих уравнений приведём следующие преобразования.

1. Вероятность того, что система в течение времени сохранит работоспособность:

(2.2.2.1)

2. (2.2.2.2)

3. (2.2.2.3)

4. (2.2.2.4)

Таким образом, изменение вероятности нахождения системы в некотором состоянии определяется произведением величины потока отказов в системе и величины исходной вероятности нахождения системы в этом состоянии.

Для примера состояний, приведённого на рис. 2.2.2.1., система дифференциальных уравнений (2.2.2.5.) Колмогорова имеет следующий вид:

… (2.2.2.5)

\

…

Начальные условия:

После преобразования этой системы уравнений к системе алгебраических уравнений и соответствующих преобразований определяются показатели надёжности системы:

(2.2.2.6)

где )

(2.2.2.7)

где , – среднее время безотказной работы нерезервированной системы.

Если принять , то получим выражение для системы с ненагруженным резервированием:

(2.2.2.8)

(2.2.2.9)

Таким образом, среднее время безотказной работы при ненагруженном резервировании возрастает по сравнению со средним временем безотказной работы нерезервированной системы в (m+1) раз.

Если в выражениях (2.2.2.6) и (2.2.2.7) принять, что , то после некоторых преобразований получим формулы (2.2.1.8) и (2.2.1.9), описывающие работу системы с нагруженным резервированием.

Дата добавления: 2015-04-30