Основные теоретические положения. Однофазные электрические цепи переменного тока

Однофазные электрические цепи переменного тока

Лабораторная работа 3

Цель работы: Проанализировать особенности работы электрических цепей синусоидального тока. Выполнить суммирование / вычитание двух гармонических колебаний.

Освоить работу электронного осциллографа. Произвести измерение частоты и фазы гармонических колебаний осциллографическим способом - по фигурам Лиссажу.

Синусоидальные функции времени могут быть представлены:

- тригонометрической формой записи,

- линейными диаграммами изменения синусоидальной величины во времени,

- вращающимися векторами,

- комплексными числами.

Тригонометрическая форма записи синусоидально изменяю­щегося во времени сигнала представляется выражением

а = A_m sin () = А_т sin ,

где а — мгновенное значение синусоидальной функции времени;

А_т — амплитудное значение синусоидальной функции времени; — угловая или круговая частота, характеризующая скорость изменения фазово­го угла; t - текущее значение времени;

= () — фаза или фазовый угол (аргумент синусоидальной функции во вре­мени);

= 2 f – круговая частота;

f = 1/Т - циклическая частота синусоидально изменяющейся во времени величины (число периодов в секунду);

Т – период изменяющейся во времени синусоидальной величины (время одного периода колебаний);

- начальная фаза (начальный фазовый угол) (рис. 3.1.1,а).

В соответствии с выражением для мгновенного значения синусоидальная функция времени во многих случаях изобра­жается в виде линейной диаграммы — графика изменения синусоидальной функции от времени (от угла t) (рис. 3.1.а,6).

Рис. 3.1.

В электротехнике кроме мгновенных и амплитудных значений sin-сигналов используют действующие и средние значения.

Действующие значения синусоидально изменяющейся ЭДС напряжений и токов записывают соответственно в виде выражений: E = Em / = 0,707Em;

U = U_m / = 0,707 U_m; I = Im/ = 0,707 Im.

Синусоидальная функция времени может быть представлена вращающимся вектором (рис. 3.1.1,а). Длина вращающегося радиуса-вектора равна амплитуде А_т синусоидальной функции времени, угол между вращающимся вектором и осью абсцисс для момента времени t = 0 представляет начальную фазу синусоидальной величины. Проекция радиуса-вектора на ось ординат определяет мгновенное значение синусоидальной величины. За положительное направление вращения векторов принято направление против хода часовой стрелки.

Синусоидальные функции времени а = A_m sin() изображаются также, комплексными числами. При этом на плоскости комплексных чисел (рис. 3.2) из начала координат под углом к оси действительных чисел (вещественной оси) проводят вектор A_m, величине которого соответствует определенное комплексное число. Комплексная амплитуда синусоидальных величин опре­деляется выражением

А_m = А_m e ^{(j t+ )}

Рис.3.2

Используют три формы записи комплексных чисел.

Алгебраическая (координатная) форма записи комплексного числа: А_ = A' + jA".

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел явля­ется производной алгебраической формы с учетом того, что

cos = А'/А; sin = А"/А; А = А{соs + sin ).

Показательная форма записи комплексных чисел является производной от тригонометрической с учетом того, что в соответ­ствии с формулой Эйлера: (cos + j sin ) = e ^{j ;}

А = А e ^j где e ^j - поворотный множитель

При = ± /2 е ^{±j /2} = (cos /2 ± jsin /2) = (0 ± j1) = ±j поэтому е ^{+j /2} = j; е ^{- j /2} = - j

Задания по работе

1.В качестве примера выполнения операций с гармоническими колебаниями рассмотрим сложение синусоидальных токов:

Как известно, при сложении двух гармонических колебаний

А₁= A_1msin( t + ₁) и А₂ = A_2msin( t + ₂)

образуется синусоидальной сигнал той же частоты

А = A_msin( t + ),

где A_m= A_lm²,,, + A_2m²+ 2A_lraA_2mcos( ₁ - ₂)^;

tg = (A_imsin ₁, + A_2msin ₂)/(A_lmcos ₁ + A_2mcos ₂).

Для реализации операции суммирования двух синусоидальных колебаний собрать схему, рис. 3.3.

Рис.3.3.

Задать значения синусоидальных токов:

I₁ = 100 sin( t + 30°) мА,

I₂ = 120 sin( t - 45°) мА.

Используя приведенные выше формулы для суммы токов,

Получим: A_{m =} (100² + 120² + 2•100 •120•cos75°) = 175 мА;

tg = [100sin30° +120sin(-45°)]/[100cos30° +120cos(- 45°)]=

- 0,1793; откуда фаза = - l0°10'.

В схеме рис..3.3.использованы источники переменного тока, в диалоговом окне которых заданы частота, ток и фаза в градусах. Для измерения токов в каждую ветвь включены амперметры в режиме измерения переменного тока (режим АС). Как видно из показаний амперметра, измеряющего ток Is, результаты суммирования токов совпадают с результатами расчетов.

Самостоятельно выполнить вычитание рассмотренных сигналов. При этом, воспользоваться соотношением:

- sin = sin( ⁰); В этом случае вычитаемый ток

–I₂ =120sin( t+135°)мА. Таким образом, задача вычитания второго тока из первого сводится к их суммированию с учётом проделанных преобразований. Задавать отрицательные значения фазы в программе не предусмотрено. Поэтому для тока I₂ в схеме суммирования начальная фаза задана 315° поскольку

sin(- 45°) = sin(360⁰ – 45⁰);

2. Для измерения частоты и фазы гармонических колебаний

применяют различные методы. Рассмотрим осциллографический способ – с использованием фигур Лиссажу.

Для чего собрать схему (рис.3.4)

Рис. 3.4.

На входы А и В осциллографа подать два синусоидальных колебания. Пусть U₁ - опорное напряжение, U2 – сравниваемое.

U₁ = U_1msin( t + В₁) U₂ = U_2msin( t + В₂)

Задать характеристики сигналов:

- источник переменного напряжения U₁ =10 В; F₁ =50 Гц; 1 = 0⁰

-источник переменного напряжения U₂ =10 В; F₂=50 Гц; 2 = var

При подаче на входы осциллографа (каналы А и В) двух гармонических колебаний на экране можно наблюдать развёртки синусоид, соответствующие U₁ и U₂

Рис.3.5.

Если осциллограф перевести в режим подачи сигналов непосредственно на отклоняющие пластины (режим А/B),

на экране появятся - фигуры Лиссажу, характеризующие соотношения частот и фаз сравниваемых сигналов.

Фигуры, полученные при различных соотношениях частот и фаз сигналов U₁ и U_2, представлены в таблице 1:

Таблица 1

(Гц)
(Гц)
А/В
В/А

Анализ экспериментально полученных фигур предлагается выполнить самостоятельно.

Контрольные вопросы

1. В чем заключаются преимущества переменного тока перед постоянным?

2. Каким образом определяются период и частота синусоидального тока?

3. Как объяснить понятие «запаздывание напряжения по фазе»?

4. Объяснить особенности режимов работы осциллографа (режим развёртки, режим А/В)?

Дата добавления: 2015-05-06