Дайте определение собственных значений и собственных векторов линейного оператора. Приведите пример

Число λ называется собственным значением (собственным числом) линейного оператора A, если ∃x не= 0: Ax = λx

x не= 0 называется собственным вектором линейного оператора A, отвечающим собственному числу λ.

Пример: f(x, y) = (2x, 2y) имеет собственное значение λ = 2, так как для любого вектора v(a, b): f(v) = 2v.

52. Как связаны между собой собственные значения линейных операторов и ? Ответ обоснуйте.

Пусть λ - собственный вектор f так, что f(x) = λx. Тогда f2x = f(f(x)) = f(λx) = λf(x) = λ2x

Это означает, что если λ - собственное значение f, то λ2 - собственное значение f2.

53. Как связаны между собой собственные значения линейных операторов и ? Ответ обоснуйте.

Пусть λ - собственный вектор f так, что f(x) = λx. Тогда x = f−1(f(x)) = f−1(λx) = λf−1(x)

Получили: x = λf−1(x) ⇒1/λ*x = f−1(x)

Это означает, что если λ - собственное значение f, то 1/λ - собственное значение f−1.

54. Могут ли все собственные значения ненулевой матрицы быть равными 0? Ответ обоснуйте для квадратных матриц порядка .

Рассмотрим матрицу A =a b c d

. Запишем характкристический многочлен и приравняем его к 0, чтобы найти собственные значения матрицы:

(a − λ)(d − λ) − bc = 0

Предположим, что λ = 0 - корень характеристического уравнения, то есть λ = 0 -

собственное значение матрицы A. Тогдa, подставив λ = 0 в уравнение получим условие:

ad = bc.

Как только ad = bc, то λ = 0 - корень уравнения. Если же ad = bc, то λ = 0 не будет являться корнем уравнения. Поэтому подставим это уравнение в хар. уравение и упростим

его: (a − λ)(d − λ) − bc = 0

ad − bc − (a + d)λ + λ2 = 0

λ2 − (a + d)λ = 0

(λ − (a + d))λ = 0

Мы видим, что, как только λ = 0 - собственное значение ad = bc тогда λ = a+d – тоже собственное значение. Предположим, что a = −d. Тогда оба собственных значения будут равны 0.

Получены условия нулевых собственных значений матрицы 2 × 2:1. ad = bc, 2. a = −d

55. Докажите, что собственные векторы квадратной матрицы 3*3, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Докажем утверждение по индукции по k, где k - число различных собственных значений матрицы.

Для k = 1 очевидно, что собственный вектор v1, отвечающий собственному значению λ1 образует линейно независимую систему, так как собственный вектор по определению не нулевой.

Пусть теперь матрицы 2 различных собственных значения λ1, λ2. Докажем, что система собственных векторов v1, v2, отвечающих указанным собственным значениям - линейно

независима. Предположим, что это не так, тогда ∃α1, α2: α21 + α22 не= 0:

α1v1 + α2v2 = 0

Применим оператор A к обеим частям уравнения, получим:α1λ1v1 + α2λ2v2 = A(0) = 0

Домножим первое уравнение на λ2 и вычтем из второго, получим: α1v1(λ1 − λ2) + α2v2(λ2 − λ2) = α1v1(λ1 − λ2) = 0

В силу того, что λ1 = λ2 и того, что v1 = 0 по определению, то получаем, что α1 = 0.

Отсюда сразу же вытекает α2 = 0, что по предположениию неверно, а значит для k = 2

мы доказали линейную независимость системы собственных векторов v1, v2 матрицы A.

Аналогично покажем для k = 2.

Пусть теперь матрицы 3 различных собственных значения λ1, λ2, λ3. Докажем что система собственных векторов v1, v2, v3, отвечающих указанным собственным значениям -линейно независима. Предположим, что это не так, тогда ∃α1, α2, α3: α21 + α22 + α23 не= 0:

α1v1 + α2v2 + α3v3 = 0

Применим оператор A к обеим частям уравнения, получим: α1λ1v1 + α2λ2v2 + α3λ3v3 = A(0) = 0

Домножим первое уравнение на λ3 и вычтем из второго, получим: α1v1(λ1 − λ3) + α2v2(λ2 − λ3) = 0

В силу того, что система v1, v2 - линейно независима приходим к противоречию.

Итоговое противоречие доказывает утверждение.

56. Как связаны собственные векторы и собственные значения квадратных матриц и ? Ответ обоснуйте.

Пусть v - собственный вектор матрицы A, отвечающий собственному значению лямбда. Тогда Это означает, что (AT v, v) = лямбда(v, v), а значит AT v = лямбда v. То есть собственные значения исобственные вектора матриц A и AT совпадают.

57. Как связаны собственные векторы и собственные значения квадратных матриц и , где - невырожденная матрица? Ответ обоснуйте.

Пусть v - собственный вектор матрицы A, отвечающий собственному значению λ. И

пусть v = Cw. Тогда C(λw) = λCw = λv = Av = ACw

Получили: C(λw) = ACw Домножим слева на C−1, получим:λw = C−1ACw

Это означает, что как только v - собственный вектор матрицы A, отвечающий ее собственному значению λ, то λ - собственное значение матрицы C−1AC, которому отвечаетсобственный вектор w = C−1v.

58. Какому алгебраическому уравнению удовлетворяют собственные значения матрицы? Приведите пример.

Собственные значения матрицы A удовлетворяют характеристическому уравнению этой матрицы, то есть det (A - E) = 0.

Пример: матрица

Тогда det (A -λE) = det

Получаем, что λ = 1, λ = 3 - собственные значения указанной матрицы.

59. Докажите, что действительный корень характеристического многочлена матрицы является ее собственным значением.

Дата добавления: 2015-03-31