Докажите что подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены

Рассмотрим подобные матрицы A и B = C−1AC, где C - невырожденная матрица. Тогда

fB = |B −λE| = |C−1AC −λE| = |C−1AC −C−1(λE)C| = |C−1(A−λE)C| = |A−λE| = fA

Что и требовалось показать.

61. Дайте определение числа Фробениуса неотрицательной квадратной матрицы. Найдите число Фробениуса для матрицы : (а) ; (б) . Ответы обоснуйте.

Числом Фробениуса матрицы A ≥ 0 называется максимальное собственное значение

этой матрицы.

Теорема: Если сумма элементов строки (столбца) матрицы A > 0 одинакова и

равна a, то число Фробениуса матрицы A равно a.

a) матрица Сумма элементов всех строк равна 5. Следовательно, опираясь на теорему, число Фробениуса этой матрицы равно 5.

b) Найдем собственные значения матрицы

(1-λ)(3-λ) = 0

λ = 1, λ = 3

Числом Фробениуса называется максимальное собственное значение, то есть = 3

62. Дайте определение продуктивной матрицы. Докажите продуктивность матрицы А=(0.2 0.6 0.9 0.3)

Теорема: Матрица A ≥ 0 продуктивна тогда и только тогда, когда ее число Фробениуса меньше единицы.

Найдем собственные значения матрицы A:

(0.2 − λ)(0.3 − λ) − 0.54 = 0

−0.48 − 0.5λ + λ2 = 0

D = 0.25 + 4 · 0.48 = 0.25 + 1.92 = 2.17

λmax = 0.5+√2.17 /2

√2.17 < 1.5 = √2.25 ⇒ λmax < 0.5+1.5/2 = 1

Число Фробениуса меньше 1, а значит матрица A по определению является продуктивной.

63. Сформулируйте критерий продуктивности матрицы. Приведите пример продуктивной матрицы порядка 3*3

Теорема: Матрица A ≥ 0 продуктивна тогда и только тогда, когда ее число Фробениуса меньше единицы.

Теорема: Если сумма элементов ∀ строки (∀ столбца) матрицы A > 0 одинакова и равна a, то число Фробениуса матрицы A равно a.

Пример: Рассмотрим матрицу A =

0.2 0.7

0.5 0.4

По теореме (сумма элементов всех строк равна 0.9) число Фробениуса равно λA = 0.9 < 1, а значит (по критерию) рассматриваемая матрица продуктивна.

Дата добавления: 2015-03-31