Законы логики

Существуют формулы, которые принимают значение «истина» независимо от того, какие значения принимают входящие в них атомы. Такие формулы называются законами алгебры логики высказываний.

Определение. Формула алгебры логики называется законом ал­гебры логики высказываний или тождественно истинной формулой или тавтологией, если при любых значениях атомов, входящих в эту фор­мулу, значение этой формулы «истина».

Примеры законов алгебры логики высказываний.

1. Закон контрапозиции: .

Доказательство. Составим таблицу истинности:

и	и	л	Л	и	и	и
и	л	л	И	л	л	и
л	и	и	Л	и	и	и
л	л	и	И	и	и	и

Формула принимает значение «истина», при любых значениях переменных и , значит, является законом алгебры логики.

2. Закон исключенного третьего: .

Доказательство. Составим таблицу истинности:

и	л	и
л	и	и

Формула 2 принимает значение «истина», при любых значениях переменных , значит, является законом алгебры логики.

3. Закон двойного отрицания: .

Доказательство.

Составим таблицу истинности:

и	л	и	и
л	и	л	и

Формула 3 принимает значение «истина», при любых значениях переменных , значит, является законом алгебры логики.

4. Закон коммутативности конъюнкции: .

Доказательство. Составим таблицу истинности:

и	и	и	и	и
и	л	л	л	и
л	и	л	л	и
л	л	л	л	и

Формула 4 принимает значение «истина», при любых значениях переменных и , значит, является законом алгебры логики.

5. Закон ассоциативности конъюнкции: .

Доказательство. Составим таблицу истинности:

и	и	и	и	и	и	и	и
и	и	л	л	л	л	л	и
и	л	и	л	л	л	л	и
л	и	и	и	и	л	л	и
и	л	л	л	л	л	л	и
л	и	л	л	л	л	л	и
л	л	и	л	л	л	л	и
л	л	л	л	л	л	л	и

Формула 5 принимает значение «истина», при любых значениях переменных , и , значит, является законом алгебры логики.

6. Закон коммутативности дизъюнкции: .

7. Закон ассоциативности дизъюнкции: .

Доказательство. Составим таблицу истинности:

8. Закон дистрибутивности конъюнкции относительно дизъ­юнкции: .

9. Закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъ­юнкции: .

Дата добавления: 2015-03-31