Множество действительных чисел обладает следующими свойствами

Подмножества.

Определение. Множество называется подмножест­вом , если каждый элемент из множества лежит во множе­стве , пишут: . Другими словами:

() - истина.

Для любых множеств , , выполняются свойства:

1. , это свойство рефлективности.

2. . Это свойство транзитивности.

3. . Это свойство антисимметричности.

Определение. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются

- множество натуральных чисел:

- множество натуральных чисел и нуль:

- множество целых чисел:

- множество действительных чисел.

- множество положительных действительных чисел: ,

- множество отрицательных действительных чисел: ,

- множество положительных действительных чисел и нуль: ,

Между этими множествами существует соотношение:

, , , , , , .

1) Оно упорядоченное: для любых двух различных чисел и имеет место одно из двух соотношений либо .

2) Множество плотное: между любыми двумя различными числами и содержится бесконечное множество действительных чисел , то есть чисел, удовлетворяющих неравенству .

3) Множество непрерывное.

Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек прямой. Это означает, что каждому действительному числу соответствует определённая (единственная) точка числовой оси и, наоборот, каждой точке оси соответствует определённое (единственное) действительное число. Поэтому вместо слова «число» часто говорят «точка».

Пусть и – действительные числа, причем .

Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества действительных чисел, имеющих следующий вид:

– отрезок (сегмент, замкнутый промежуток);

– интервал (открытый промежуток);

; – полуоткрытые интервалы (или полуоткрытые промежутки);

; ;

; ;

– бесконечные интервалы (промежутки).

Числа и называют соответственно левым и правым концами этих промежутков. Символы и не числа, это символическое обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от начала 0 влево и вправо.

Обозначение. Если , то их сумму можно записать в виде:

;

их произведение – в виде: .

Определение. Окрестностью точки называется любой интервал , содержащий точку . В частности, интервал , где , называется - окрестностью точки ; число называется центром, а число радиусом.

- аналитическая запись окрестности конечной точки.

Окрестностью точки называется внешняя часть любого промежутка, т.е. .

Определение. Множество называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором интервале.

Замечание. Ограниченность множества означает, что существует такое число , что координаты любой точки из по модулю не превосходят . ().

Дата добавления: 2015-03-31