Мощность множества. Счётные и несчётные множества

Пустое множество.

Определение. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством. Обозначается: .

.

Свойства пустых множеств.

1. Пустое множество единственно.

Доказательство: , - пустые множества. .

2. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Множества бывают конечные и бесконечные.

Определение. Мощностью конечного множества называется число элементов этого множества. Обозначается - мощность конечного множества .

Пусть Множества и - равномощные множества. (Они не равны, они равномощны).

Первым вопросом, возникшим в применении к бесконечным множествам был вопрос о возможности их количественного сравнения между собой. Ответ на этот и близкие вопросы был дан Г. Кантором в конце 70-х годов 19 века. Эта теория опирается на взаимно однозначное соответствие между двумя множествами. Рассмотрим множество натуральных чисел = . Если можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что множество - счётное множество. Если нельзя установить взаимно однозначное соответствие между бесконечным множеством и множеством натуральных чисел , то говорят, что множество - несчётное множество. Мощность счётных множеств – есть наименьшая мощность, которую может иметь бесконечное множество. Кантор доказал, что множество всех рациональных чисел счётно, а множество всех действительных чисел несчётно.

Определение. Мощность множества действительных чисел называется мощностью континуума или мощностью .

Множеству всех действительных чисел равномощны:

1) множество всех точек плоскости, 2) множество всех подмножеств счётного множества, 3) множество всех комплексных чисел, …

Гипотеза Кантора. Всякое множество, состоящее из действительных чисел, либо конечно, либо счётно, либо равномощно множеству всех действительных чисел.

Дата добавления: 2015-03-31