Устойчивость систем с запаздыванием

Звено транспортного запаздывания смещает по времени выходной сигнал относительно входного на величину запаздывания :

. (2.9.51)

Передаточная функция и комплексный передаточный коэффициент соответственно представлены выражениями (2.9.52) и (2.9.53):

; (2.9.52)

. (2.9.53)

При исследовании устойчивости системы, в которую входит звено запаздывания, приводят её структурную схему к виду (рис. 2.44), в котором это звено оказывается включённым последовательно с остальной частью системы.

При этом, если обозначить

,

то характеристическое уравнение замкнутой системы примет вид

. (2.9.54)

В связи с тем, что разложение в ряд Тейлора экспоненциальной функции имеет вид

,

характеристическое уравнение (2.9.54) имеет бесконечно большое число корней. При этом, естественно, алгебраические критерии устойчивости неприменимы. В то же время для данной системы может быть использован критерий Найквиста.

ПРИМЕР 2.9.2. Пусть структурная схема системы с запаздыванием приведена к виду, представленному на рис. 2.44 и

.

На рис. 2.45 представлены амплитудно-фазовые характеристики звена запаздывания и последовательно с ним включённого звена . Так как модуль комплексного передаточного коэффициента звена запаздывания на всех частотах равен единице, то АФХ разомкнутой системы

(2.9.55)

отличается от только фазой:

. (2.9.56)

Если провести дугу окружности единичного радиуса с центром в начале

координат от отрицательной вещественной полуоси до пересечения с АФХ в точке , то полученное значение из соотношения

(2.9.57)

позволит найти так называемое критическое время запаздывания , то есть время запаздывания, при котором система выводится на границу устойчивости. Здесь - значение частоты, при которой

. (2.9.58)

В рассматриваемом примере

, (2.9.59)

откуда

, , (2.9.60)

и

. (2.9.61)

Дата добавления: 2015-03-31