Критерий Найквиста

Если передаточная функция разомкнутой системы имеет m полюсов с положительной вещественной частью, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы при изменении от 0 до расширенная амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы повернулась вокруг точки на угол . Расширение частотной характеристики необходимо при наличии у передаточной функции разомкнутой системы полюсов на мнимой оси. Каждому нулевому полюсу соответствует на амплитудно-фазовой характеристике доворот по окружности бесконечно большого радиуса на угол . Каждому чисто мнимому положительному полюсу соответствует на амплитудно-фазовой характеристике доворот по окружности бесконечно большого радиуса на угол .

Естественно, что, давая формулировку критерия устойчивости, исходят из условия . Можно получить и более общий результат. Основываясь на формуле (2.9.48), в каждом конкретном случае можно вычислить количество «неустойчивых» полюсов замкнутой системы:

. (2.9.49)

Здесь – результирующий угол поворота расширенной амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы вокруг точки при изменении от 0 до .

На практике удобнее пользоваться другой формулировкой критерия, которая предложена Я. З. Цыпкиным и использует понятие переходов расширенной амплитудно-фазовой характеристикой участка вещественной оси .

Переходом называется пересечение амплитудно-фазовой характеристикой вещественной оси на интервале . Переход считается положительным, если при увеличении частоты в точке перехода фаза растет, и отрицательным – если уменьшается. Если амплитудно-фазовая характеристика начинается или заканчивается на указанном участке вещественной оси, то имеет место половина перехода с соответствующим знаком.

На рис. 2.43 приведены примеры, иллюстрирующие понятие переходов и критерий Найквиста. Все три примера соответствуют системам, устойчивым в замкнутом состоянии.

В системе координат логарифмических частотных характеристик переход имеет место, если фазочастотная характеристика пересекает линию (к=1,2...) и при этом логарифмическая амплитудно-частотная характеристика идет выше оси абсцисс (модуль комплексного передаточного коэффициента больше единицы).

Приведем теперь формулировку критерия Найквиста, использующую понятие переходов.

Если передаточная функция разомкнутой системы имеет полюсов с положительной вещественной частью, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы суммарное число переходов расширенной логарифмической частотной характеристики было равно . Если замкнутая система неустойчива, то число ее «неустойчивых» полюсов

, (2.9.50)

где – суммарное число переходов расширенной частотной характеристики разомкнутой системы.

Дата добавления: 2015-03-31