Необходимое условие устойчивости

Для устойчивости системы с характеристическим полиномом

(2.9.16)

необходимо, чтобы при все коэффициенты характеристического полинома были положительны, то есть при .

Докажем это утверждение. Если - нули характеристического полинома (корни характеристического уравнения ), то (2.9.16) может быть записано в виде

. (2.9.17)

Если - вещественный корень в левой полуплоскости, то есть ( - положительное вещественное число), то

и произведение таких сомножителей даст полином только с положительными коэффициентами.

Пусть - комплексный корень в левой полуплоскости, то есть (). Тогда при всех вещественных коэффициентах характеристического полинома среди его нулей должен быть комплексно - сопряжённый: . Произведение двух соответствующих сомножителей даст полином второй степени с положительными коэффициентами:

.

Следует обратить внимание на то, что рассмотренное условие устойчивости не является достаточным. Если среди коэффициентов характеристического полинома имеются отрицательные, то это означает, что соответствующая система неустойчива. Если все коэффициенты положительны, то система может быть как устойчивой, так и неустойчивой. В этом случае необходим дополнительный анализ.

Дата добавления: 2015-03-31