Практическая работа №10. Задание 1: Вычислите односторонние пределы: 1) ;

Пример

Задание 1: Вычислите односторонние пределы: 1) ;

2) .

Решение: 1) Пусть . Тогда при функция , а, следовательно, и есть отрицательная бесконечно малая, поэтому функция - отрицательная бесконечно большая, то есть .

При функция , а, следовательно, и - положительная бесконечно большая функция, то есть .

2) Пусть . Тогда при имеем: - отрицательная бесконечно малая функция; следовательно, и . Отсюда .

Если , то при получим: - положительная бесконечно малая функция; следовательно, и , тогда . Имеем, .

Задание 2: Даны функции: 1) ; 2) . Найти точки разрыва и исследовать их характер.

Решение: 1) Функция определена при всех значениях , кроме . Так как эта функция является элементарной, то она непрерывна в каждой точке своей области определения, состоящей из двух промежутков и .

Следовательно, единственной точкой разрыва является точка (функция определена в окрестности этой точки, в самой же точке нарушается условие непрерывности – функция в ней неопределена). Для исследования характера разрыва найдем левый и правый пределы этой функции при стремлении аргумента к точке разрыва : , .

Следовательно, при функция имеет бесконечный разрыв; есть точка II рода.

2) Рассуждая аналогично, получим, что точкой разрыва заданной функции является . Найдем односторонние пределы этой функции в точке : , .

Таким образом, левый и правый пределы исследуемой функции при конечны, но не равны между собой. Поэтому точка I рода, причем точка скачка функции.

Задания для практической работы

1. Вычислите односторонние пределы:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

2. Для данных функций найдите точки разрыва и исследуйте их характер:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

3. Исследуйте на непрерывность функции:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Вопросы для самоконтроля:

1. Дайте определение непрерывной функции.

2. Что называется точкой разрыва?

3. На какие два типа делятся точки разрыва? Дайте определение.

4. Какие пределы называются односторонними?

5. Какая точка называется точкой устранимого разрыва?

6. Какая точка называется точкой скачка? Что называется скачком?

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5

Дата добавления: 2015-03-31