Запишите приближенную формулу для диссипативной функции механической системы с одной степенью свободы при малых отклонениях от положения устойчивого равновесия

Пусть на точки системы, когда она выведена из положения устойчивого равновесия, кроме потенциальных сил, начинают действовать еще и силы вязкого сопротивления , которые линейно зависят от скоростей точек системы, то есть: , где - постоянный коэффициент сопротивления.

Вычислим обобщенную силу сопротивления: (ø).

Преобразуем (ø) с помощью тождества Лагранжа: .

В результате получим: (U).

Введем функцию Ф, называемую диссипативной функцией Релея: (X).

По своей структуре, диссипативная функция Ф аналогичная кинетической энергии системы, только вместо массы точек в нее входят коэффициенты сопротивления .

Таким образом, подставив (X) в (U), получаем формулу для обобщенной силы: .

В силу стационарности наложенных на систему связей радиус-векторы точек зависят только от обобщенной координаты, то есть . Тогда: и, следовательно, диссипативная функция: .

Коэффициент B(q) разложим в степенной ряд в окрестности положения равновесия ():

, а затем учтем в этом разложении только первый член, так как диссипативная функция Релея уже содержит в себе величину второго порядка малости . Обозначим этот член через «b», который назовем обобщенным коэффициентом сопротивления. Размерность коэффициента сопротивления зависит от размерности обобщенной координаты.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Таким образом, окончательно приближенное значение диссипативной функции Релея можно представить в виде: .

Дата добавления: 2015-03-31