Запишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы без учета сопротивления

Рассмотрим движение механической системы с одной степенью свободы, около положения равновесия, когда на точки системы, кроме потенциальных сил, начинают действовать возмущающие силы. При этом обобщенная сила Q(t), характеризующая внешнее воздействие на колебательную систему, изменяется по закону синуса или косинуса: , где: H - амплитуда, p - циклическая (круговая) частота, - начальная фаза обобщенной силы.

Определим положение системы обобщенной координатой q, которую выберем так, что при равновесии .

Для составления дифференциального уравнения воспользуемся уравнением Лагранжа II рода:

.

Так как равновесие устойчиво, а возмущения малы, то обобщенная координата q и обобщенная скорость во все время движения будут оставаться малыми величинами, а поэтому для определения кинетической и потенциальной энергии, а также диссипативной функции воспользуемся приближенными выражениями: , .

Используя эти выражения находим: .

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Поставляя эти значения в уравнение Лагранжа, получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы без учета сопротивления: , где: = const, круговая или циклическая частота собственных колебаний системы, = const.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

- НЛДУ II порядка с постоянными коэффициентами ([).

Решение q(t) для ([) можно представить в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения (Q) и частного решения неоднородного уравнения, то есть: .

Однородное уравнение для определения , совпадает с уравнением собственных колебаний. Поэтому его решение называется собственными колебаниями системы. Его решение можно записать таким образом: .

Частное решение неоднородного уравнения называют вынужденными колебаниями системы. Оно определяется в зависимости от соотношения круговых частот «k» и «p» свободных колебаний и возмущающей силы. Здесь возможны два случая: отсутствие резонанса () и резонанс ().

1. k¹p

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ (Q):

ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ НЛДУ II: Сравниваем часть с , заключаем, что число: и не является корнем характеристического уравнения. Частное решение ищем по форме: . Постоянный множитель «h» должен рассматриваться как многочлен нулевой степени, следовательно: .

Окончательно для частного решения: .

Далее, учитывая общее решение уравнения (Q) и частное, запишем общее решение для ([): , или в амплитудной форме:

.

Таким образом, движение системы состоит из двух гармонических колебаний с различными частотами, собственных (свободных) с круговой частотой «k» и вынужденных с круговой частотой «p».

Постоянные и определяются из начальных условий: .

***Вычисление постоянных не приведено, См. вопр. №24 - аналогично***

.

Получилось, что постоянные и , определяющие свободные колебания, зависят не только от начальных условий (), но и от параметров возмущающей силы (h, p, ), то есть свободные колебания могут возникнуть не только из-за начальных условий, но и благодаря действию возбуждающей силы, даже при нулевых начальных условиях. Поэтому, свободные колебания фактический тоже являются вынужденными и называть из свободными (собственными) можно лишь условно.

- Введем в рассмотрение амплитуду вынужденных колебаний: , тогда чисто вынужденные колебания можно представить в следующем виде: , где - сдвиг по фазе вынужденных колебаний относительно колебаний возмущающей силы. Видно, что: .

Таким образом, при фаза вынужденных колебаний совпадает с фазой возмущающей силы. В этом случае вынужденные колебания и возмущающая сила одновременно достигают экстремальных значений.

При сдвиг по фазе равен , то есть вынужденные колебания находятся в противоположной фазе по отношению к возмущающей силе, в частности, если возмущающая сила достигает максимума, то вынужденные колебания достигают минимума и наоборот.

2. k=p

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ (Q):

ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ НЛДУ II: Сравниваем часть с , заключаем, что число: и является корнем характеристического уравнения. является корнем один раз, следовательно k = 1. Частное решение ищем по форме: . Постоянный множитель «h» должен рассматриваться как многочлен нулевой степени, следовательно: .

Окончательно для частного решения: .

Далее, учитывая общее решение уравнения (Q) и частное, запишем общее решение для ([): , или в амплитудной форме:

.

Анализируя , можно сделать вывод: с одной стороны, вынужденные колебания при резонансе смещены по фазе от возмущающей силы на , с другой - амплитуда вынужденных колебаний неограниченной возрастает пропорциональной времени .

- , здесь отношение - статическое отклонение от положения равновесия под действием постоянной силы, равной амплитуде Н. Величина - коэффициент расстройки, а отношение - коэффициент динамичности. Коэффициент динамичности показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний при гармоническом возбуждении больше статического отклонения.

26. В каком случае при вынужденных колебаниях наступит явление резонанса? Чем характерно это явление? (См. вопр. № 25)

27. В чем состоит характерная особенность явления удара?

Явление, при котором за ничтожно малый промежуток времени скорость точек тела изменяется на конечную величину, называется ударом.

Весьма малый промежуток времени , в течение которого длиться удар, называется временем удара.

Силы, возникающие при ударе и действующие в течение времени удара, но достигающие таких больших значений, что их импульсы за это время становятся конечными величинами, называются ударными силами.

28. Почему вместо ударных сил в теории удара фигурируют ударные импульсы?

Измерять столь большие силы обычным способом затруднительно, поэтому удобнее измерять ударную силу ее импульсом: , который называется ударным импульсом, или просто ударом.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Точка М массой m движется под действием силы , описывая траекторию . В точке М траектория в момент t, когда точки имела скорость , произошел удар. Под действием приложенной ударной силы точка изменила как модуль, так и направление скорости. Обозначая скорость точки после удара , запишем теорему об изменении количества движения точки за время удара:

(Ò).

Первый интеграл - ударный импульс и, следовательно, конечная величина.

Второй интеграл - импульс конечно силы , запишем с помощью теоремы о среднем: .

И этого равенства следует, что импульсом конечных сил можно пренебречь, так как его величина того же порядка, что и (время удара). Тогда равенство (Ò) принимает следующий вид: (¡), то есть изменение количества движения материальной точки за время удара равно ударному импульсу, приложенному к точке.

(¡) - основное уравнение динамики точки при ударе.

29. Каково перемещение материальной точки за время действия на нее ударного импульса?

Поскольку время удара пренебрежимо мало, расстояние l, пройденное точкой за это время также пренебрежимо мало: .

Здесь - конечная величина, - весьма малая величина, поэтому можно принять .

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Выводы:

1. действием обычных сил (силы тяжести) за время удара можно пренебречь;

2. перемещением точки за время удара можно пренебречь, считая, что за время удара точка практически остается неподвижной (следовательно, можно пренебречь силой трения);

3. действие ударных сил на материальную точку приводит к быстрому изменению величины и направления скорости.

Дата добавления: 2015-03-31