Пример 6.2

Выражение скалярного произведения через координаты

Свойства скалярного произведения

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba

Решение:

5. Если векторы а и b(ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a  b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab =0 и а 0b, то а  b

.

Пусть заданы два вектора

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i, j, k:

т.е

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин А(-4;-4;4), В(- 3;2;2),C(2; 5;1), D(3;-2;2), взаимно перпендикулярны.

Решение: Составим вектора АС и BD, лежащие на диагоналях данного четырехугольника. Имеем: АС = (6;9;-3) и BD = (6;-4;0). Найдем скалярное произведение этих векторов:

АС • BD = 36 - 36 - 0 = 0.

Отсюда следует, что AC  BD. Диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.

Дата добавления: 2015-04-24