Диагонали параллелограмма

Стороны параллелограмма

Основные свойства параллелограмма

Признаки параллелограмма

Определение.

1,2Вопрос Параллелограмм - это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).

Параллелограммы отличаются между собой как размером прилегающих сторон, так и углами, однако противоположные углы одинаковые.

Четырехугольник ABCD будет параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. четырехугольника имеет две пары параллельных сторон:

AB||CD, BC||AD

1. четырехугольник имеет пару параллельных и равных сторон:

AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)

1. в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны:

AB = CD, BC = AD

1. в четырехугольнике противоположные углы попарно равны:

∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA

1. в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам:

AO = OC, BO = OD

1. сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°:

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

1. в четырехугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:

AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD²

Квадрат, прямоугольник и ромб - есть параллелограммом.

Основные свойства параллелограмма:

1. противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину:

AB = CD, BC = AD

1. противоположные стороны параллелограмма параллельны:

AB||CD, BC||AD

1. противоположные углы параллелограмма одинаковые:

∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB

1. сумма углов параллелограмма равна 360°:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

1. сумма углов параллелограмма прилегающих к любой стороне равна 180°:

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

1. каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника
2. две диагональ делят параллелограмм на две пары равных треугольников
3. диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:

AO = CO =	d1
BO = DO =	d2

1. точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма
2. сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

AC² + BD² = 2AB² + 2BC²

1. биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны
2. биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом (90°)

Формулы определения длин сторон параллелограмма:

1. формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:

a =	√d1^2 + d2^2 - 2d1d2·cosγ	=	√d1^2 + d2^2 + 2d1d2·cosδ

b =	√d1^2 + d2^2 + 2d1d2·cosγ	=	√d1^2 + d2^2 - 2d1d2·cosδ

1. формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:

a =	√2d1^2 + 2d2^2 - 4b^2

b =	√2d1^2 + 2d2^2 - 4a^2

1. формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:

a =	hb
sinα

b =	ha
sinα

1. формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:

a =	S
ha

b =	S
hb

Дата добавления: 2015-04-24